Questão 22 Fuvest 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 22

Circunferência G.A.

Um ponto $(x, y)$ do plano cartesiano pertence ao conjunto $F$ se é equidistante dos eixos $O X$ e $O Y$ e pertence ao círculo de equação $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 2 = 0 .$ É correto afirmar que $F$

a)	é um conjunto vazio.
b)	tem exatamente 2 pontos, um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
c)	tem exatamente 2 pontos, ambos no primeiro quadrante.
d)	tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
e)	tem exatamente 4 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e dois no segundo quadrante.

Resolução

Para que um ponto $P = (x, y)$ seja equidistante dos eixos $O x$ e $O y$ , precisamos que este ponto pertença a uma das retas bissetrizes dos quadrantes:

(1) $P$ pertence à reta bissetriz dos quadrantes ímpares $(y = x)$ , ou seja, $P$ é um ponto da forma:

$P = (a, a)$

(2) $P$ pertence à reta bissetriz dos quadrantes pares $(y = - x)$ , ou seja, $P$ é um ponto da forma:

$P' = (- a, a)$

Veja:

Repare que $P$ e $P'$ são simétricos em relação ao eixo Oy.

Como $P$ também pertence à circunferência, então:

(1) $P = (a, a) \in ⊙ :$

$a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a - 6 \cdot a + 2 = 0 \Rightarrow a^{2} - 4 a + 1 = 0$

Resolvendo a equação quadrática, encontramos $a = 2 + \sqrt{3}$ ou $a = 2 - \sqrt{3}$ .

Logo, concluímos que os pontos são:

$(2 + \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$ e $(2 - \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3})$ ,

ambos no 1° quadrante.

(2) $P = (- a, a) \in ⊙ :$

${(- a)}^{2} + a^{2} - 2 \cdot (- a) - 6 \cdot a + 2 = 0 \Rightarrow a^{2} - 2 a + 1 = 0$

Resolvendo a equação quadrática, encontramos $a = 1$ .

Logo, concluímos que o ponto é dado por:

$(- 1, 1)$ ,

localizado no 2° quadrante.

Logo, o conjunto $F$ tem exatamente três pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.