Questão 3 Fuvest 2026 - 1ª fase
Em uma eleição para um conselho composto por 5 membros, existem 7 candidatos inscritos e um total de 35 eleitores. São eleitos os 5 candidatos com mais votos, sendo o critério de desempate a idade, isto é, se houver uma só vaga para dois candidatos que empataram em número de votos, o candidato mais velho é eleito e o mais novo, não. Aleph, que é o mais novo dentre todos os candidatos, está analisando quantos votos precisa para garantir sua eleição.
Sabendo que cada eleitor tem direito a votar em somente um candidato e que, geralmente, nessas eleições, um ou dois dos eleitores não comparecem para votar, pode-se afirmar:
| a) |
Se um ou dois eleitores não comparecerem, Aleph será eleito se tiver pelo menos 5 votos. |
| b) |
Aleph não será eleito com 5 votos, mesmo que um ou dois eleitores não compareçam |
| c) |
Caso dois eleitores não compareçam, Aleph precisará receber 5 votos para se eleger. Mas, se apenas um eleitor não comparecer, 5 votos não garantem sua eleição. |
| d) |
Na hipótese de dois eleitores não comparecerem, Aleph precisa que um dos eleitos tenha recebido 6 ou mais votos para que ele consiga se eleger com apenas 4 votos. |
| e) |
Na hipótese de apenas um dos eleitores não comparecer, Aleph precisa que dois dos eleitos tenham recebido 6 ou mais votos para que ele consiga se eleger com apenas 4 votos. |
Aleph é um dos candidados (A), e sejam B, C, D, E, F e G os demais 6 candidatos.
Note que Aleph é o mais novo dentre todos os candidatos, então em caso de empate pelo último eleito, ele perde.
A seguir, analisemos os contraexemplos para as afirmativas falsas.
a) FALSA.
Com 34 eleitores (um falta), se apenas um dos demais candidatos ficar com 4 votos e todos os outros ficarem com 5 votos, Aleph não consegue ser eleito.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 5 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
O mesmo se aplicaria a 33 eleitores, se B receber apenas 3 votos.
Então, obter 5 votos não é condição suficiente para Aleph se eleger (seja com um ou com dois eleitores ausentes).
b) FALSA.
Com 34 eleitores (um falta), se dois candidatos ficarem com 4 votos cada, um terceiro candidato ficar com 6 votos e o demais, incluindo Aleph, ficarem com 5 votos, então Aleph é eleito.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 5 | 4 | 4 | 6 | 5 | 5 | 5 |
Então, Aleph pode se eleger com 5 votos, dependendo da distribuição dos demais votos.
c) FALSA.
Com 33 eleitores (dois faltam), se Aleph e outros cinco candidatos ficarem com 5 votos e apenas um outro candidato ficar com 3 votos, Aleph não é eleito.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 3 |
Além disso, caso Aleph tenha apenas 4 votos, mas outros dois candidatos fiquem com 3 votos, e os demais com 5, 5, 5 e 8 votos, respectivamente, Aleph será eleito.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 4 | 3 | 3 | 5 | 5 | 5 | 8 |
Assim, a afirmação "Caso dois eleitores não compareçam, Aleph precisará receber 5 votos para se eleger" é falsa, pois não corresponde nem a uma condição necessária, nem a uma condição suficiente.
d) FALSA.
Com 33 eleitores (dois faltam), se Aleph receber 4 votos e nenhum outro receber 6 votos ou mais, Aleph não consegue ser eleito.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 4 |
Por outro lado, ao aumentar o voto de outro candidato, não é certeza que Aleph será eleito, como no exemplo a seguir.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 4 | 6 | 5 | 5 | 5 | 4 | 4 |
No entanto, Aleph ganha com 4 votos quando outro candidato fica com 14 votos. Neste caso, sobraram 15 votos, que ao distribuirmos ao demais, é impossível que pelo menos quatro deles fiquem com 4 votos cada.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 4 | 14 | 4 | 4 | 4 | 3 | 0 |
Portanto, observamos que a condição de outro candidato receber 6 ou mais votos é uma condição necessária, porém não suficiente para a eleição de Aleph. Sendo a suficiência atingida apenas quando outro candidato obtém pelo menos 14 votos.
e) FALSA.
Com 34 eleitores (um falta), se dois candidatos ficarem com 6 votos cada e Aleph ficar com 4 votos, ele perde caso outros três candidatos fiquem com 5 votos cada.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 4 | 6 | 6 | 5 | 5 | 5 | 3 |
Porém, é possível Aleph se eleger apenas com 4 votos sem que haja outros dois candidatos com 6 ou mais votos. Para tanto, seria suficiente que um dos candidatos tivesse 15 votos, restando outros 15 votos aos restantes, garantindo assim pelo menos o quinto lugar a Aleph.
| A | B | C | D | E | F | G |
| 4 | 15 | 4 | 4 | 4 | 3 | 0 |
Portanto, haver outros dois candidatos com 6 votos ou mais não é condição necessária nem suficiente para Aleph se eleger com 4 votos.
Considerando que todas as alternativas trazem afirmações que possuem contraexemplos, sugerimos a anulação da questão.