Questão 4 Fuvest 2026 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Propriedades do logaritmo Probabilidade

O conceito de entropia permeia diversas áreas do conhecimento e foi introduzido na Teoria da Informação por Claude Shannon, que desenvolveu uma forma de calcular a entropia 𝐸 de um sistema, a saber

$E = - \sum_{i} P_{i} (x) \log_{2} P_{i} (x)$

em que $P_{i} (x)$ é a probabilidade do i-ésimo resultado para a variável $x$ .

Por exemplo, considere uma sequência com duas letras A coloridas, a primeira azul e a segunda vermelha $(A A)$ . Se essas duas letras fossem colocadas numa urna, a probabilidade de se retirar, sem observar, a letra azul, como na sequência original, é $\frac{1}{2}$ .Devolve-se a letra à urna e sorteia-se novamente. A probabilidade de sair vermelha é novamente $\frac{1}{2}$ , e nesse caso tem-se:

$E = - \sum_{i} P_{i} (x) \log_{2} P_{i} (x) = - (\frac{1}{2} \log_{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{2} \frac{1}{2}) = 1$

Para uma sequência com 4 letras A, as duas primeiras azuis e as duas últimas vermelhas $(A A A A)$ , colocando-as numa urna e sorteando uma, a probabilidade de sair azul é $\frac{1}{2}$ . Devolve-se a letra e sorteia-se novamente. A probabilidade da segunda letra sorteada ser azul, como na sequência original, é novamente $\frac{1}{2}$ . Procedendo dessa forma para as duas letras vermelhas, tem-se:

$E = - \sum_{i} P_{i} (x) \log_{2} P_{i} (x) = - (\frac{1}{2} \log_{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{2} \frac{1}{2}) = 2$

Com base nessas informações, qual o valor da entropia 𝐸, no caso de uma sequência com 4 letras A, sendo as 3 primeiras azuis e a última vermelha $(A A A A)$

a)	$5 - \frac{9}{4} \log_{2} 3$
b)	$\frac{1}{2} - \frac{5}{2} \log_{2} 3$
c)	$\frac{3}{2}$
d)	$\frac{9}{4} \log_{2} 3$
e)	3

Resolução

Caso a sequência seja $A A A A$ , em cada sorteio a probabilidade de sair a letra A azul é $\frac{3}{4}$ , enquanto a probabilidade de sair a letra A vermelha é $\frac{1}{4}$ . Nesse caso, a entropia pode ser calculada por

$E = - (\frac{3}{4} \cdot \log_{2} (\frac{3}{4}) + \frac{3}{4} \cdot \log_{2} (\frac{3}{4}) + \frac{3}{4} \cdot \log_{2} (\frac{3}{4}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{2} (\frac{1}{4}))$

$E = - (\frac{9}{4} \cdot \log_{2} (\frac{3}{4}) + \frac{1}{4} \cdot \log_{2} (\frac{1}{4}))$

Como para quaisquer valores positivos $x$ e $y$ , e para qualquer base $a$ do logaritmo, temos

$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (x) - \log_{a} (y)$

podemos reescrever a entropia da seguinte maneira:

$E = - [\frac{9}{4} \cdot (\log_{2} 3 - \log_{2} 4) + \frac{1}{4} \cdot (\log_{2} 1 - \log_{2} 4)] E = - [\frac{9}{4} \cdot (\log_{2} 3 - 2) + \frac{1}{4} \cdot (0 - 2)] E = - [\frac{9}{4} \cdot \log_{2} 3 - \frac{9}{2} - \frac{1}{2}] E = - [\frac{9}{4} \cdot \log_{2} 3 - 5] E = 5 - \frac{9}{4} \cdot \log_{2} 3$