Questão 7 Fuvest 2026 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 7

Arco Duplo

Considere a equação trigonométrica

$sen \frac{π}{2} + sen x = sen (2 x) - cosπ$

para $x \in ℝ$ , $0 ⩽ x < 2 π$ .

Um estudante resolveu essa equação da seguinte maneira:

$sen \frac{π}{2} + sen x = sen (2 x) - cosπ$

$1 + sen x = sen (2 x) + 1$

$sen x = sen (2 x)$

$sen x = 2 sen x$

$2 sen x - sen x = 0$

$sen x = 0$

$x = 0 ou x = π$

A resolução apresentada pelo estudante está errada, pois ele

a)	considerou que $cosπ$ vale 1.
b)	não considerou as infinitas voltas no ciclo trigonométrico para a resposta.
c)	considerou que $sen \frac{π}{2}$ vale 1.
d)	não utilizou corretamente o seno da soma de dois arcos.
e)	apresentou duas respostas e não apenas uma.

Resolução

A resolução comete o erro por não utilizar corretamente o seno da soma de dois arcos.

Da segunda para a terceira linhas, além de cancelar os termos $(+ 1)$ em cada lado da equação, há também a substituição $sen (2 x) = 2 sen x$ .

Tal substituição está equivocada pois, para quaisquer arcos $a, b \in ℝ$ , temos

$sen (a + b) = sen (a) \cdot \cos (b) + sen (b) \cdot \cos (a)$

Então, para $a = b = x$ , resulta que

$sen (2 x) = sen (x) \cdot \cos (x) + sen (x) \cdot \cos (x) \Leftrightarrow$

$sen (2 x) = 2 \cdot sen (x) \cdot \cos (x)$

A continuação correta da equação, a partir da terceira linha, deveria ser

$sen x = 2 sen x \cos x sen x \cdot (1 - 2 \cos x) = 0 sen x = 0 ou \cos x = \frac{1}{2}$

Considerando o intervalo $0 ⩽ x < 2 π$ , teríamos:

Assim, essa equação teria 4 soluções distintas no intervalo $0 ⩽ x < 2 π$