Questão 55 Fuvest 2026 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 55

Sequências Múltiplos e Divisores

Existem números curiosos na matemática. Os números perfeitos são alguns deles. Um número $n$ (para $n \in ℕ^{*}$ ) é perfeito se, e somente se, for igual à soma de seus divisores positivos (excluindo o próprio). Relacionando números perfeitos e números primos, Euclides escreveu uma proposição em seu famoso livro “Elementos”: se $2^{n} - 1$ é um número primo, então $2^{n - 1} (2^{n} - 1)$ é um número perfeito. Considerando o que foi exposto, é correto afirmar:

a)	Com exceção de $n = 1$ , os 5 primeiros termos da sequência $(a_{n}) = (2^{n} - 1)$ são números primos.
b)	Os termos da progressão geométrica, cujo primeiro termo é o primeiro número perfeito e cuja razão é 3, são pares.
c)	Os números 28 e 31 são números perfeitos.
d)	Na proposição de Euclides, para $n = 4$ , obtemos que $2^{n} - 1$ não é primo, mas que $2^{n - 1} (2^{n} - 1)$ é perfeito.
e)	A sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de $(a_{n}) = (2^{n} - 1)$ é uma progressão aritmética de razão 2.

Resolução

a) Incorreta. Para $n = 4$ , temos $a_{4} = 2^{4} - 1 = 15$ , que não é primo.

b) Correta. Entendendo que "primeiro número perfeito" signifique o menor número perfeito, tal número seria o 6, pois os divisores positivos de 6 são 1, 2, 3 e 6, cuja soma, excluindo o próprio 6, é $1 + 2 + 3 = 6$ . A PG de primeiro termo 6 e razão 3 é dada por:

$PG (6, 18, 54, 162, . . .)$ ,

e realmente será formada integralmente por números inteiros pares.

c) Incorreta. 28 realmente é um número perfeito, pois a soma dos seus divisores positivos, excluindo ele próprio, é:

$1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ .

Entretanto, 31, como qualquer número primo, não pode ser perfeito, pois só terá 1 como divisor positivo diferente dele próprio.

d) Incorreta. Para $n = 4$ , temos $a_{4} = 2^{4} - 1 = 15$ , que realmente não é primo. Entretanto:

$2^{4 - 1} \cdot (2^{4} - 1) = 8 \cdot 15 = 120$ ,

cuja soma dos divisores positivos, excluindo ele próprio, é:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 > 120$

Ou seja, 120 não é um número perfeito.

e) Incorreta. A sequência $(a_{n}) = (2^{n} - 1)$ tem como primeiros termos:

$(1, 3, 7, 15, 31, . . .)$

A sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de $(a_{n})$ é dada por:

$(2, 4, 8, 16, . . .)$ ,

que é uma progressão geométrica, mas não uma progressão aritmética, de razão 2.