Questão 69 Fuvest 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 69

Órbitas Circulares (Satélites)

Em julho de 1969, os astronautas Neil Armstrong e Buzz Aldrin fizeram o primeiro pouso tripulado na superfície da Lua, enquanto seu colega Michael Collins permaneceu a bordo do módulo de comando Columbia em órbita lunar. Considerando que o Columbia estivesse em uma órbita perfeitamente circular a uma altitude de 260 km acima da superfície da Lua, o tempo decorrido (em horas terrestres ‐ h) entre duas passagens do Columbia exatamente acima do mesmo ponto da superfície lunar seria de

a)	0,5 h.
b)	2 h.
c)	4 h.
d)	8 h.
e)	72 h.

Resolução

Como a Columbia está em órbita circular, podemos concluir que a força gravitacional que age sobre ela é a resultante e, por apontar para o centro da trajetória, é centrípeta. Assim podemos temos:

$F_{G r a v} = F_{c e n t r} \Rightarrow$

$\frac{G \cdot M \cdot m}{R^{2}} = \frac{m \cdot v^{2}}{R} \Rightarrow$

$\frac{G \cdot M}{R} = v^{2} eq . (1)$

Sendo $M$ a massa da Lua, $m$ a massa da Columbia, $G$ a constante gravitacional, $v$ o módulo da velocidade tangencial da Columbia e $R$ o raio da orbita da Columbia.

Como o enunciado pergunta o período $(T)$ da órbita, pois pergunta-se o tempo entre duas passagens pela Columbia acima do mesmo ponto na lua, temos que relacionar seu movimento a um movimento circular. Sabemos que a cada volta, a Columbia leva um tempo $Δ t = T$ e percorre uma distância $Δ s = 2 πR$ . Portanto:

$v = \frac{2 πR}{T} eq . (2)$

Substituindo a equação (2) na equação (1), temos:

$\frac{G \cdot M}{R} = (\frac{2 πR}{T})^{2} \Rightarrow$

$T^{2} = \frac{4 π^{2} R^{3}}{G M}$ $eq . (3)$

Substituindo os dados na equação (3) e tomando o devido cuidado com as unidades de medidas (a constante gravitacional foi dada em km³/(kg h²), asssim podemos manter o raio da orbita em km, a massa em kg e o tempo em hora), temos:

$T^{2} = \frac{4 \cdot 3^{2} (1740 + 260)^{3}}{9 \cdot 10^{- 13} \cdot 8 \cdot 10^{22}} \Rightarrow$

$T^{2} = \frac{(2 \cdot 10^{3})^{3}}{2 \cdot 10^{9}} \Rightarrow$ $T^{2} = 4 \Rightarrow$

$T = 2 h$