Questão 79 Fuvest 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 79

Pêndulo Simples Dilatação Linear

Um pêndulo simples é composto por uma haste metálica leve, presa a um eixo bem lubrificado, e por uma esfera pequena de massa muito maior que a da haste, presa à sua extremidade oposta. O período $P$ para pequenas oscilações de um pêndulo é proporcional à raiz quadrada da razão entre o comprimento da haste metálica e a aceleração da gravidade local. Considere este pêndulo nas três situações:

1. Em um laboratório localizado ao nível do mar, na Antártida, a uma temperatura de 0 °C.

2. No mesmo laboratório, mas agora a uma temperatura de 250 K.

3. Em um laboratório no qual a temperatura é de 32 °F, em uma base lunar, cuja aceleração da gravidade é igual a um sexto daquela da Terra.

Indique a alternativa correta a respeito da comparação entre os períodos de oscilação $P_{1}$ , $P_{2}$ e $P_{3}$ do pêndulo nas situações 1, 2 e 3, respectivamente.

a)	$P_{1} < P_{2} < P_{3}$ .
b)	$P_{1} = P_{3} < P_{2}$ .
c)	$P_{2} < P_{1} < P_{3}$ .
d)	$P_{3} < P_{2} < P_{1}$ .
e)	$P_{1} < P_{2} = P_{3}$ .

Resolução

De acordo com o enunciado, o período de oscilação para um pêndulo é proporcional à raiz quadrada da razão entre o comprimento da haste metálica e a aceleração da gravidade local:

$P \propto \sqrt{\frac{L}{g}} .$

Essa afirmação está de acordo com a equação

$P = 2 π \cdot \sqrt{\frac{L}{g}} .$

Dela, concluímos que quanto maior for o comprimento da haste, maior será o período e quanto maior for a aceleração da gravidade local menor será o período do pêndulo.

As temperaturas nas situações 2 e 3 foram dadas nas escalas Kelvin (T₂ = 250 K) e Fahrenheit (T₃ = 32 °F). Convertendo ambas para a escala Celsius, temos respectivamente T₂ = -23 °C e T₃ = 0 °C.

Devido à dilatação térmica da haste, comparando os comprimentos da haste em cada uma das situações, podemos afirmar que L₁ = L₃ > L₂.

Como nas situações 1 e 2 o local é o mesmo (mesma aceleração gravitacional), podemos afirmar que o pêndulo de maior comprimento oscilará com maior período. Ou seja, P₁ > P₂.

Analogamente, como a aceleração da gravidade na Lua (situação 3) é menor que a aceleração da gravidade na Terra (situação 1), dado que em ambas as situações a haste tem o mesmo comprimento, P₃ > P₁.

Desta forma, temos P₂ < P₁ < P₃.