Questão 115 Enem 2025 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 115

Nível sonoro

O nível sonoro, em decibel (dB), é calculado pela expressão:

$n = 10 \log_{10} (\frac{I}{I_{0}})$ .

Uma conversa normal entre duas pessoas gera sons de níveis sonoros entre 50 e 60 dB, enquanto pessoas gritando podem gerar sons de níveis superiores a 100 dB. Supondo que, no centro de um estádio de futebol, foram realizadas medidas para avaliar o ruído médio de uma pessoa gritando a palavra "gol" em diferentes posições das arquibancadas. O valor médio obtido, considerando um grande número de medidas, foi de 100 dB. Com esse dado, estimou-se o ruído sonoro produzido por 10 000 pessoas, distribuídas aleatoriamente nas arquibancadas, enquanto gritavam, simultaneamente, a palavra "gol".

O valor médio estimado para o ruído produzido por essas pessoas, na posição central desse estádio hipotético, foi de

a)	60 dB.
b)	104 dB.
c)	140 dB.
d)	400 dB.
e)	800 dB.

Resolução

A fórmula do nível sonoro $n$ , dada pelo enunciado, é

$n = 10 \log_{10} (\frac{I}{I_{0}})$ ,

em que $I$ é a intensidade do som e $I_{0}$ é a intensidade sonora do limiar de audição, geralmente tomada como $I_{0} = 10^{- 10} W / m^{2}$ , mas esse valor de referência não era necessário para desenvolver a questão.

Para uma única pessoa, o nível sonoro $n_{1} = 100 dB$ , com intensidade $I_{1}$ é dado por

$n_{1} = 10 \log_{10} (\frac{I_{1}}{I_{0}}) = 100 dB .$ (eq.1)

A intensidade sonora total é a soma das intensidades individuais. Assumindo que todas as $N = 10000$ pessoas produzem a mesma intensidade média $I_{1}$ , temos um intensidade total

$I_{T} = N \cdot I_{1} = 10000 \cdot I_{1} = 10^{4} \cdot I_{1} .$ (eq.2)

O nível sonoro total é calculado usando a intensidade total $I_{T}$ . Encontramos, usando a equação 2 acima,

$n_{T} = 10 \log_{10} (\frac{I_{T}}{I_{0}}) = 10 \log_{10} (\frac{10^{4} \cdot I_{1}}{I_{0}}) .$

Utilizando a propriedade do logaritmo do produto, $\log_{b} (x \cdot y) = \log_{b} x + \log_{b} y$ , vem que

$n_{T} = 10 [\log_{10} (10^{4}) + \log_{10} (\frac{I_{1}}{I_{0}})] \Rightarrow$

$n_{T} = 10 \log_{10} (10^{4}) + 10 \log_{10} (\frac{I_{1}}{I_{0}}) .$

O segundo termo é o nível sonoro de uma pessoa, $n_{1} = 100 dB$ , conforme a equação 1. O primeiro termo é o acréscimo de nível devido às $10^{4}$ fontes. No primeiro termo:

$10 \log_{10} (10^{4}) = 10 \cdot 4 \log_{10} 10 = 10 \cdot 4 \cdot 1 = 40 dB .$

Substituindo na equação do nível sonoro total:

$n_{T} = 40 dB + 100 dB \Rightarrow$

$n_{T} = 140 dB .$

O valor médio estimado para o ruído produzido é $140 dB$ , logo, a alternativa correta é a (c).