Questão 151 Enem 2025 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 151

Relação de Euler

A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma. As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.

Quantos vértices tem esse poliedro?

a)	21
b)	25
c)	55
d)	80
e)	110

Resolução

A cúpula pentagonal apresentada tem como faces:

25 triângulos equiláteros;
5 quadrados;
1 pentágono;
1 decágono.

Assim, o total de faces é dado por:

$F = 25 + 5 + 1 + 1 = 32$

Em relação à quantidade de arestas, conforme a especificação acima, e lembrando que cada aresta não deve ser contada duas vezes, temos:

$A = \frac{25 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 10}{2} = 55$

Portanto, da relação de Euler, a quantidade de vértices ( $V$ ) é dada por:

$V - A + F = 2 \Leftrightarrow V - 55 + 32 = 2 \Leftrightarrow V = 25$