Questão 156 Enem 2025 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 156

Teorema dos Cossenos

O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:

1º - partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;

2º - partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.

No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:

1º - partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;

2º - partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.

A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.

O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.

Considere 0,64 como aproximação para cos 50°.

A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,

a)	135 e 7 horas e 15 minutos.
b)	45 e 7 horas e 15 minutos.
c)	135 e 12 horas.
d)	135 e 6 horas.
e)	45 e 6 horas.

Resolução

Primeiramente, vamos deduzir as medidas dos ângulos internos do pentágono $P Q R T S$ .

Note que $360 ° - 340 ° = 20 °$ e $110 ° - 90 ° = 20 °$ , então encontramos:

$m (Q \hat{P} S) = 90 ° + 20 ° + 20 ° = 130 °$ ;
$m (P \hat{S} T) = 90 ° - 20 ° = 70 °$ ;
$m (R \hat{Q} P) = 180 ° - 20 ° = 160 °$ .

Traçando a diagonal $S Q$ , formamos:

o triângulo isósceles $P Q S$ , cujos ângulos agudos medem $\frac{180 ° - 130 °}{2} = 25 °$ ;
o paralelogramo $R Q S T$ , cujos ângulos internos medem $70 ° - 25 ° = 45 °$ e $160 ° - 25 ° = 135 °$ .

Como a bússola marca o $0 °$ no Norte e o barco vinha na direção $\vec{S T}$ , que corresponde ao Leste $(90 °)$ , o giro de $45 °$ no sentido horário corresponderá à direção $90 ° + 45 ° = 135 °$ .

Para determinar a distância $\bar{R T}$ , é equivalente a determinar a distância $\bar{Q S}$ no triângulo $P Q S$ pelo teorema dos cossenos.

Assim, temos:

$Q S^{2} = P S^{2} + P Q^{2} - 2 \cdot P S \cdot P Q \cdot \cos 130 °$

$\Rightarrow Q S^{2} = 4^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 130 °$

$\Rightarrow Q S^{2} = 32 - 32 \cdot \cos 130 °$ ,

mas $\cos 130 ° = - \cos 50 °$ , uma vez que $130 °$ e $50 °$ são ângulos suplementares.

Substituindo $\cos 130 ° = - \cos 50 °$ no teorema dos cossenos, temos:

$Q S^{2} = 32 + 32 \cdot \cos 50 °$

$\Rightarrow Q S^{2} = 32 + 32 \cdot 0, 64 = 32 (1 + 0, 64)$

$\Rightarrow Q S^{2} = 32 \cdot 1, 64 = 32 \cdot (2 \cdot 0, 82) = 64 \cdot 0, 82 \approx 64 \cdot 0, 81$

$\Rightarrow Q S \approx \sqrt{64 \cdot 0, 81} = 8 \cdot 0, 9 = 7, 2$ horas aproximadamente.

No entanto, $7, 2 h = 7 h + 0, 2 h = 7 h + 0, 2 \cdot 60 min = 7 h 12 min$ .

Daí, o percurso $Q S$ (e portanto $R T$ ) deve ser feito em, aproximadamente, 7 horas e 12 minutos.