Questão 159 Enem 2025 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 159

função Tangente

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetros, aumente em relação ao tempo $T$ , em minuto, de acordo com uma função do tipo

$D = k + tg [p (T + m)]$ ,

sendo os parâmetros $k$ , $p$ e $m$ números reais, para $T$ variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de $D$ .

A expressão algébrica que apresenta a relação entre $D$ e $T$ é

a)	$D = 2, 5 + tg [30 (T - \frac{5 - 2 π}{2})]$
b)	$D = 4 + tg [30 (T + \frac{5}{2})]$
c)	$D = 4 + tg [2, 5 (T + \frac{5 + 2 π}{2})]$
d)	$D = 30 + tg [\frac{1}{2} (T - 5)]$
e)	$D = 30 + tg [\frac{1}{2} (T - \frac{5}{2})]$

Resolução

A resolução da questão envolve a determinação dos parâmetros $k$ , $p$ e $m$ na função trigonométrica dada:

$D = k + tg [p (T + m)]$

Determinação do parâmetro $k$ (Deslocamento Vertical)

O parâmetro $k$ representa o deslocamento vertical da função, sendo o valor de $D$ onde a função tangente é zero.

Dado um intervalo $] a, b [$ que corresponde a um período completo no domínio da função tangente $f (T) = tg [p (T + m)]$ , a imagem será zero exatamente no ponto médio desse intervalo, ou seja, $f (T) = 0 \Leftrightarrow T = \frac{a + b}{2}$ .

Pelo gráfico, o intervalo $] \frac{5 - 2 π}{2}, \frac{5 + 2 π}{2} [$ , corresponde a um período completo da função tangente $D (T) = k + tg [p (T + m)]$ , período este que não se altera pelo deslocamento vertical. Assim, o valor

$T = \frac{\frac{5 - 2 π}{2} + \frac{5 + 2 π}{2}}{2} = 2, 5$

é aquele para o qual a tangente se anula. Então, segue que

$tg [p (2, 5 + m)] = 0$

Ora, como o gráfico passa pelo ponto $(2, 5; 30)$ , concluímos que

$D (2, 5) = 30 \Leftrightarrow$

$k + tg [p (2, 5 + m)] = 30 \Leftrightarrow$

$k = 30$

Determinação do parâmetro $p$ (Relação com o Período)

A relação entre o período $P$ e o parâmetro $p$ para a função tangente é:

$P = \frac{π}{|p|}$

O período da função corresponde à distância entre as duas assíntotas verticais, que é

$P = \frac{5 + 2 π}{2} - \frac{5 - 2 π}{2} = 2 π$

Então, calculamos $p$ :

$\frac{π}{|p|} = 2 π \Leftrightarrow |p| = \frac{1}{2}$

Como as alternativas apresentam apenas valores positivos para o parâmetro $p$ , obtemos $p = \frac{1}{2}$ .

Determinação do parâmetro $m$ (Deslocamento Horizontal/Fase)

Já argumentamos que $T = 2, 5$ é um valor para o qual $tg [p (T + m)] = 0$ , onde $p = \frac{1}{2}$ .

Como a função tangente se anula nos múltiplos inteiros de $π$ , obtemos:

$\frac{1}{2} (2, 5 + m) = n π \Leftrightarrow m = - 2, 5 + 2 n π, n \in ℤ$

Observe que a única alternativa que possui parâmetro $m$ no formato acima é a alternativa (E), a qual apresenta $m = - \frac{5}{2}$ , obtido para $n = 0$ .

Portanto, uma expressão correta para a distância $D$ é aquela da alternativa (E)

$D = 30 + tg [\frac{1}{2} (T - \frac{5}{2})]$

Observação.

Levando em consideração as duas possibilidades para o sinal do parâmetro $p$ :

$p = {(- 1)}^{s} \cdot \frac{1}{2}, s \in \{0, 1\}$ ,

e também a condição geral para o parâmetro $m$ :

$m = - 2, 5 + \frac{n π}{p} \Leftrightarrow$

$m = - \frac{5}{2} + {(- 1)}^{s} \cdot 2 n π, s \in \{0, 1\}, n \in ℤ$

A solução geral do exercício é

$D = 30 + tg [{(- 1)}^{s} \cdot \frac{1}{2} \cdot (T - \frac{5}{2} + {(- 1)}^{s} \cdot 2 n π)], s \in \{0, 1\}, n \in ℤ$