Questão 169 Enem 2025 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 169

Probabilidade

Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.

O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é

a)	Artur, com probabilidade de $\frac{2}{3}$
b)	João, com probabilidade de $\frac{4}{9}$
c)	Artur, com probabilidade de $\frac{91}{216}$
d)	João, com probabilidade de $\frac{91}{216}$
e)	Artur, com probabilidade de $\frac{125}{216}$

Resolução

Vamos calcular a probabilidade de João ganhar. Os casos favoráveis para João ganhar são:

João tira 1, e Artur tira 1 nos dois lançamentos:

$p_{1} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$

João tira 2, e Artur tira no máximo 2 nos dois lançamentos:

$p_{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6}$

João tira 3, e Artur tira no máximo 3 nos dois lançamentos:

$p_{3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6}$

João tira 4, e Artur tira no máximo 4 nos dois lançamentos:

$p_{4} = \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6}$

João tira 5, e Artur tira no máximo 5 nos dois lançamentos:

$p_{5} = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6}$

João tira 6, e nesse caso tanto faz quais números Artur tira em cada lançamento:

$p_{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Assim:

$p (João ganhar) = p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} + p_{6} =$

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} =$

$\frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{216} = \frac{91}{216}$

Consequentemente, a probabilidade de Artur ganhar é:

$p (Artur ganhar) = 1 - \frac{91}{216} = \frac{125}{216}$

Como $\frac{125}{216} > \frac{91}{216}$ , segue que Artur tem maior probabilidade de vitória ( $\frac{125}{216}$ ).