Questão 179 Enem 2025 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 179

Combinação simples

Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.

De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?

a)	36
b)	53
c)	300
d)	360
e)	560

Resolução

O filho mais velho deve ganhar três presentes diferentes, tal que um deles deve ser uma bicicleta ou um celular, mas não ambos. Faz-se então a escolha de um presente entre bicicleta ou celular, e a escolha dos outros dois presentes entre os restantes (que não sejam nem bicicleta nem celular):

Números de maneiras para escolher bicicleta ou celular: $C_{2, 1} = 2$ .
Número de maneiras para escolher 2 presentes dentre os outros 6 disponíveis: $C_{6, 2} = \frac{6 \cdot 5}{2!} = 15$ .

Assim, há $2 \cdot 15 = 30$ maneiras de escolher os presentes para o filho mais velho.

O filho mais novo deve ganhar 3 presentes entre os outros 5 restantes (sem restrições):

$C_{5, 3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$ .

Então, há 10 maneiras de escolher os presentes para este filho.

Restaram 2 presentes para o filho do meio, então só há uma escolha possível.

$C_{2, 2} = \frac{2 \cdot 1}{2!} = 1$ .

Portanto, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de maneiras distintas para distribuir os presentes é:

$30 \cdot 10 \cdot 1 = 300 maneiras$ .