Questão 87 Unesp 2020 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 87

Volume (Cilindros) Razão e Proporção

O quilate do ouro é a razão entre a massa de ouro presente e a massa total da peça, multiplicada por 24. Por exemplo, uma amostra com 18 partes em massa de ouro e 6 partes em massa de outro metal (ou liga metálica) é um ouro de 18 quilates.
Assim, um objeto de ouro de 18 quilates tem $\frac{3}{4}$ de ouro e $\frac{1}{4}$ de outro metal em massa.
O ouro é utilizado na confecção de muitos objetos, inclusive em premiações esportivas. A taça da copa do mundo de futebol masculino é um exemplo desses objetos.
A FIFA declara que a taça da copa do mundo de futebol masculino é maciça (sem nenhuma parte oca) e sua massa é de pouco mais de 6 kg. Acontece que, se a taça fosse mesmo de ouro e maciça, ela pesaria mais do que o informado.

(“O peso da taça”. https://ipemsp.wordpress.com. Adaptado.)

Considere que a taça seja feita apenas com ouro 18 quilates, cuja composição é de ouro com densidade 19,3 g/cm³ e uma liga metálica com densidade 6,1 g/cm³, e que o volume da taça é similar ao de um cilindro reto com 5 cm de raio e 36 cm de altura.
Utilizando $π = 3$ , se a taça fosse maciça, sua massa teria um valor entre

a)	30 kg e 35 kg.
b)	15 kg e 20 kg.
c)	40 kg e 45 kg.
d)	10 kg e 15 kg.
e)	20 kg e 25 kg.

Resolução

Calculamos primeiramente o volume da taça. Sabendo que este é similar ao volume de um cilindro reto com 5 cm de raio e 36 cm de altura, temos:

$\begin{array}{rcl} V & = & A_{b a s e} \cdot h = π \cdot 5^{2} \cdot 36 = 900 π {cm}^{3} \end{array}$

Como o enunciado pede para utilizar $π = 3$ , temos

$V = 900 \cdot 3 = 2700 {cm}^{3}$

Sejam $V_{o} e V_{L}$ , respectivamente, os volumes de ouro e de liga e $m_{o} e m_{L}$ , respectivamente, as massas de ouro e de liga, assim, considerando que:

$\{\begin{cases} m_{o} = \frac{3 \cdot M}{4} \\ m_{L} = \frac{M}{4} \end{cases}$ , onde $M$ é a massa total da taça, temos:

$V_{o} + V_{L} = 2700 c m^{3} \Rightarrow \frac{m_{o}}{d_{o}} + \frac{m_{L}}{d_{L}} = 2700 c m^{3} \Rightarrow$

$\frac{3 \cdot M}{4 \cdot d_{o}} + \frac{M}{4 \cdot d_{L}} = 2700 c m^{3} \Rightarrow M = \frac{4 \cdot 2700}{(\frac{3}{d_{o}} + \frac{1}{d_{L}})} (g) = \frac{10800}{(\frac{3}{19, 3} + \frac{1}{6, 1})} (g) \Rightarrow$

$M ≅ 33, 8 k g$

Portanto, a massa da taça teria um valor entre 30 kg e 35 kg.