Questão 13 Unifesp 2025 - 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 13

Estudo Analítico das Lentes

A figura mostra o esquema de um equipamento que permite o estudo de instrumentos e de fenômenos ópticos. Nessa figura, estão representados uma fonte de luz, uma lente convergente delgada e um anteparo. Movendo-se os suportes desses elementos, pode-se projetar uma imagem nítida de um slide na superfície do anteparo. Sabe-se que o eixo de simetria da fonte de luz coincide com o eixo principal da lente, que esse eixo é perpendicular ao plano que contém o anteparo, que a distância focal dessa lente é 40 cm e que ela obedece às condições de nitidez de Gauss.

Considere que o slide tenha 5 cm de altura e que inicialmente ele esteja fixo a 120 cm de distância do centro óptico da lente, também fixa.

a) Calcule a que distância da lente, em cm, deve ser colocado o anteparo, para que uma imagem nítida do slide seja projetada sobre ele. Em seguida, calcule a altura dessa imagem, em cm.

b) Mantendo a lente fixa, calcule qual deve ser a distância entre o slide e o anteparo, em cm, para que uma imagem nítida e duas vezes maior do que o slide seja projetada sobre o anteparo.

Resolução

a) Dado que a imagem deve se formar sobre o anteparo, a distância da lente ao anteparo deve ser igual à distância da imagem conjugada até a lente (p'). Essa distância pode ser obtida pela equação de Gauss:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$

Sendo a distância focal $f = 40 cm$ e a ditância do slide até a lente $p = 120 cm$ , temos

$\frac{1}{40} = \frac{1}{120} + \frac{1}{p'} \Rightarrow$

$p' = 60 cm .$

A altura da imagem pode ser obtida pela equação do aumento linear:

$A = \frac{i}{o} = \frac{- p'}{p} = \frac{f}{f - p} .$

Sendo o tamanho do slide $o = 5 cm$ , temos

$\frac{i}{5} = \frac{40}{40 - 120} \Rightarrow$

$i = - 2, 5 cm .$

O valor acima é negativo pois a imagem é invertida.

Desta forma, o anteparo deve ser colocado a 60 cm da lente e a altura da imagem é igual a 2,5 cm.

b) Dado que a imagem deve ser duas vezes maior que o objeto, o aumento linear deve ter módulo igual a 2. No entanto, toda imagem projetada sobre um anteparo é real e, consequentemente, invertida. Consequentemente, o aumento linear deve ser negativo, ou seja,

$A = - 2$

Da equação do aumento linear, temos

i) $A = \frac{f}{f - p} \Rightarrow - 2 = \frac{40}{40 - p} \Rightarrow p = 60 cm;$

ii) $A = \frac{- p'}{p} \Rightarrow - 2 = \frac{- p'}{60} \Rightarrow p' = 120 cm .$

A distância entre o slide e o anteparo é igual à soma das distâncias do slide até a lente ( $p$ ) e da lente até o anteparo ( $p'$ ):

$d = p + p' \Rightarrow$

$d = 60 + 120 \Rightarrow$

$d = 180 cm .$

A distância entre o slide e o anteparo deve ser igual a 180 cm.