Questão 17 Unifesp 2025 - 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 17

Relações Métricas e Trigonométricas no Triângulo Retângulo Áreas de quadriláteros Volume do Prisma

Um lago artificial tem a forma de prisma reto, cuja base é o polígono UNIFESP, com $U N = U P = 6 m$ , $N I = P S = 2 m$ , $I F = 1 m$ , e ângulos indicados na figura.

a) Calcule as medidas de $\bar{S E}$ e $\bar{F E}$ , ambas em metros.

b) Calcule a altura aproximada do lago, em centímetros e com uma casa decimal depois da vírgula, sabendo que o volume do lago é igual a $(7 + 2 \sqrt{2}) m^{3}$ .

Resolução

a) Sejam $A$ a projeção ortogonal de $P$ sobre a reta $\overset{\leftrightarrow}{S E}$ , $B$ e $C$ as respectivas projeções ortogonais de $I$ e $F$ sobre a reta $\overset{\leftrightarrow}{U N}$ , como ilustrado a seguir:

No triângulo retângulo $A P S$ , temos que:

$sen 45 ° = \frac{A P}{P S} = \frac{A S}{P S} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{A P}{2} = \frac{A S}{2} \Leftrightarrow A P = A S = \sqrt{2} m$

No triângulo retângulo $B N I$ , temos que:

$sen 45 ° = \frac{I B}{I N} = \frac{N B}{I N} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{I B}{2} = \frac{N B}{2} \Leftrightarrow I B = N B = \sqrt{2} m$

Além disso, $C B I F$ é um retângulo, de modo que:

$\{\begin{cases} C F = B I = \sqrt{2} m \\ B C = I F = 1 m \end{cases}$

Por fim, como $U A E C$ também é um retângulo, segue que:

$\{\begin{cases} A E = U C \\ C E = U A \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} A S + S E = U N + N B + B C \\ C F + F E = U P + A P \end{cases} \Leftrightarrow$

$\{\begin{cases} \sqrt{2} + S E = 6 + \sqrt{2} + 1 \\ \sqrt{2} + F E = 6 + \sqrt{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S E = 7 m \\ F E = 6 m \end{cases}$

b) Vamos começar calculando a área do polígono $U N I F E S P$ , que vem a ser a base do prisma em questão. Para tanto, vamos calcular a área do retângulo $U A E C$ e subtrair as áreas do triângulo retângulo $A P S$ e do trapézio retângulo $C N I F$ . Temos que:

$A_{U N I F E S P} = A_{U A E C} - A_{A P S} - A_{C N I F} =$

$U A \cdot U C - \frac{A S \cdot A P}{2} - \frac{(C N + I F) \cdot I B}{2} =$

$(6 + \sqrt{2}) \cdot (7 + \sqrt{2}) - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} - \frac{(1 + \sqrt{2} + 1) \cdot \sqrt{2}}{2} =$

$44 + 13 \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} - 1 = 42 + 12 \sqrt{2} = 6 \cdot (7 + 2 \sqrt{2}) m^{2}$

A partir disso, calculamos a altura $h$ do prisma, uma vez que o volume é $(7 + 2 \sqrt{2}) m^{3}$ :

$V_{L A G O} = A_{U N I F E S P} \cdot h \Leftrightarrow 7 + 2 \sqrt{2} = 6 \cdot (7 + 2 \sqrt{2}) \cdot h \Leftrightarrow h = \frac{1}{6} m$

Descrevendo de acordo com as diretrizes do enunciado:

$h = \frac{1}{6} m = 0, 1666 . . . m = 16, 666 . . . cm \Rightarrow h \approx 16, 7 cm$