Questão 20 Unifesp 2025 - 2º dia

a) Partindo do da expressão original:

$f\left(\theta \right)=\frac{2}{\mathrm{sen}\theta }-\frac{{\cos }^2\theta }{\mathrm{sen}\theta }=\frac{2-{\cos }^2\theta }{\mathrm{sen}\theta }$,

Aplicando a relação fundamental da Trigonometria:

$f\left(\theta \right)=\frac{2-\left(1-{\mathrm{sen}}^2\theta \right)}{\mathrm{sen}\theta }=\frac{1+{\mathrm{sen}}^2\theta }{\mathrm{sen}\theta }=\frac{1}{\mathrm{sen}\theta }+\frac{{\mathrm{sen}}^2\theta }{\mathrm{sen}\theta }\iff$

$f\left(\theta \right)=\frac{1}{\mathrm{sen}\theta }+\mathrm{sen}\theta$

b) Gostaríamos de apontar que o enunciado acaba cometendo um equívoco ao nomear, no gráfico dado nesse item (b), a função seno como $f$, sendo que já havia sido usada essa mesma letra $f$ para a função em questão, $f\left(\theta \right)=\frac{2}{\mathrm{sen} \theta }-\frac{{\cos }^2\theta }{\mathrm{sen}\theta }=\mathrm{sen}\theta +\frac{1}{\mathrm{sen}\theta }$.

Como o domínio da função é o intervalo de $0°<\theta <180°$, temos a seguinte faixa gráfica:

Lembremos a desigualdade das médias: dados números reais não negativos $a$ e $b$, então $\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{a·b}$, e a igualdade só ocorre quando $a=b$

Sendo $0°<\theta <180°$, temos que $\mathrm{sen}\theta >0$ e, portanto, $\frac{1}{\mathrm{sen}\theta }>0$. Sendo números não negativos, podemos aplicar a desigualdade das médias:

$\frac{\mathrm{sen}\theta +{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}\theta }}}{2}⩾\sqrt{\mathrm{sen}\theta ·\frac{1}{\mathrm{sen}\theta }}=\sqrt{1}=1\iff$

$\mathrm{sen}\theta +\frac{1}{\mathrm{sen}\theta }⩾2$,

que será atingido quando $\mathrm{sen}\theta =1\iff \theta =90°$ (pois $0°<\theta <180°$)

Portanto, o valor mínimo da função no intervalo determinado é $2$.