Questão 1 Fuvest 2025 - 2ª fase - dia 2

a) O sistema linear é dado por:

$\boxed{\{\begin{array}{c}2\mathit{C}+1\mathit{L}+1\mathit{N}=86\\ 3\mathit{C}+3\mathit{L}+3\mathit{N}=174\\ 3\mathit{C}+2\mathit{L}+2\mathit{N}=142\end{array}}$

b) Subtraindo a equação III da equação II, temos:

$\begin{array}{l}3C+3L+3N=174\\ 3C+2L+2N=142\\ \boxed{L+N=\mathrm{R}\$ 32,00}\end{array}-$

c) Sabendo que a soma dos preços da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas é a mesma nas três promoções, encontramos:

(1) PROMOÇÃO 1:

$2C_1+L+N=86\iff L+N=86-2C_1$

(2) PROMOÇÃO 2:

$3C_2+3L+3N=174\iff L+N=58-C_2$

(3) PROMOÇÃO 3:

$3C_3+2L+2N=142\iff L+N=71-1,5C_3$

Dessa forma, 

$86-2C_1=58-C_2=71-1,5C_3$

Além disso, o preço do caderno de capa dura é o mesmo em apenas duas das promoções. Isto é:

(1) $C_1=C_2$        ou        (2) $C_1=C_3$        ou         (3) $C_2=C_3$

Daí, analisando cada possibilidade:

(1) $C_1=C_2$

$86-2C_1=58-C_2\iff 86-2C_1=58-C_1\iff C_1=\mathrm{R}\$\hspace{0.17em}28,00$,

de modo que:

 $L+N=86-2C_1=\mathrm{R}\$\hspace{0.17em}30,00$.

Porém, o preço do caderno de capa dura deve ser maior que a soma dos preços da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas. Essa possibilidade deve ser descartada.

(2) $C_1=C_3$

$86-2C_1=71-1,5C_3\iff 86-2C_1=71-1,5C_1\iff C_1=\mathrm{R}\$ 30,00$

,

de modo que:

 $L+N=86-2C_1=\mathrm{R}\$\hspace{0.17em}26,00$. 

Como o preço do caderno de capa dura é maior que a soma dos preços da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas, então essa possibilidade é válida.

(3) $C_2=C_3$

$58-C_2=71-1,5C_3\iff 58-C_2=71-1,5C_2\iff C_2=\mathrm{R}\$\hspace{0.17em}26,00$,

de modo que:

 $L+N=58-C_2=\mathrm{R}\$ 32,00$. 

Porém, o preço do caderno de capa dura deve ser maior que a soma dos preços da caixa de lápis de cor e do conjunto de canetas. Essa possibilidade deve ser descartada.

Logo, as promoções que possuem o mesmo preço para o caderno de capa dura são PROMOÇÃO I e PROMOÇÃO III.