Questão 3 Fuvest 2025 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Matrizes

Após uma proposta de atividade de uma professora que incentivava estudantes de sua turma a explorar, em uma tabela numérica, o pensamento matemático por meio de atividades investigativas, a turma percebeu diversos padrões interessantes.

Considere uma tabela com 10 colunas, em que os números naturais estão dispostos sequencialmente a partir da primeira linha. Nessa tabela, a professora destacou um retângulo, como mostra a figura:

Posteriormente, definiu como $𝑆$ a soma dos elementos do retângulo e como $𝐷$ o módulo da diferença do produto dos elementos das diagonais. Para o retângulo destacado, temos:

$S = 6 + 7 + 16 + 17 = 46 . D = |7 \times 16 - 6 \times 17| = |112 - 102| = 10 .$

Se esse retângulo for deslocado uma coluna para a direita, teremos $S = 50$ , e se for deslocado uma linha para baixo, teremos $𝑆 = 86$ . A partir das informações apresentadas, responda:

a) Se o retângulo destacado da tabela for deslocado $𝑛$ linhas para baixo, qual será o valor de $𝑆$ ?

b) Se o retângulo destacado da tabela for deslocado $𝑛$ linhas para baixo, qual será o valor de $𝐷$ ?

c) Considere agora que a tabela foi construída com $𝑛$ colunas, sendo $𝑛 \geq 2$ . Qual é o valor de $𝐷$ para um retângulo cujo menor elemento é $𝑘$ , com $𝑘 \neq 𝑝 𝑛 (𝑝 \in ℕ)$ ?

Resolução

Deslocando o retângulo $n$ linhas para baixo, temos o retângulo a seguir

$\begin{matrix} 6 + 10 n & 7 + 10 n \\ 16 + 10 n & 17 + 10 n \end{matrix}$

a) Calculando $S$ :

$S = (6 + 10 n) + (7 + 10 n) + (16 + 10 n) + (17 + 10 n)$

$S = 46 + 40 n$

b) Calculando $D$ :

$D = |(7 + 10 n) \cdot (16 + 10 n) - (6 + 10 n) \cdot (17 + 10 n)|$

$D = |112 + 70 n + 160 n + 100 n^{2} - 102 - 60 n - 170 n - 100 n^{2}|$

$D = |10|$

$D = 10$

c) Para uma tabela construída com $n$ colunas, $n \geq 2$ , temos o padrão a seguir:

$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n - 1 & n \\ n + 1 & n + 2 & n + 3 & \dots & 2 n - 1 & 2 n \\ 2 n + 1 & 2 n + 2 & 2 n + 3 & \dots & 3 n - 1 & 3 n \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix}$

Nessa tabela, os números em cada linha, a partir da segunda, correspondem aos números da linha anterior somados com $n$ (nos itens a e b, há o caso particular $n = 10$ ).

Então, se o menor valor de um retângulo é $k$ , o retângulo é

$\begin{matrix} k & k + 1 \\ k + n & k + n + 1 \end{matrix}$

Dessa forma, temos

$D = |(k + 1) \cdot (k + n) - k \cdot (k + n + 1)|$

$D = |k^{2} + k n + k + n - k^{2} - k n - k|$

$D = |n|$

$D = n$ (pois $n$ é não negativo)

Observação: A conclusão do item (c) confirma o valor encontrado no item (b), no qual $D = n = 10$ .