Questão 4 Fuvest 2025 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Juros Compostos

O sistema Price, também conhecido como Sistema Francês de Amortização, é um modelo muito utilizado para financiamentos, como os de celulares e veículos. A principal característica desse sistema é que as parcelas são fixas durante todo o período do financiamento, ou seja, o valor que se paga periodicamente é o mesmo do início ao fim. A parcela do financiamento no sistema Price é composta por duas partes: amortização e juros. Nesse sistema, ao longo do tempo, o valor pago a título de juros diminui à medida que o valor pago a título de amortização aumenta, mantendo o valor total da parcela constante, conforme o modelo matemático:

$V = \frac{P}{(1 + j)} + \frac{P}{{(1 + j)}^{2}} + \frac{P}{{(1 + j)}^{3}} + \dots + \frac{P}{{(1 + j)}^{n}} = \frac{P}{(1 + j)} [1 + \frac{1}{(1 + j)} + \frac{1}{{(1 + j)}^{2}} + \dots + \frac{1}{{(1 + j)}^{n - 1}}]$

em que $V$ corresponde ao valor total financiado, $j$ representa a taxa de juros cobrada mensalmente, $n$ é o número de parcelas mensais a serem pagas e $P$ é o valor de cada uma das parcelas.

O valor de $n$ é um número inteiro, dado que é o número de parcelas do financiamento. Contudo, ao modelar matematicamente tal problema, pode-se deparar com valores não inteiros. Existem calculadoras que, por exemplo, mesmo que o valor modelado matematicamente para $n$ não seja inteiro, apresentam como resposta padrão $n$ como sendo o menor inteiro maior que o valor obtido com o modelo matemático. Por exemplo, considerando um valor financiado de R$19.000,00, que será cobrado a uma taxa de juros de 1% ao mês, com parcelas fixas de R$500,00, a calculadora apresenta como solução $n = 49$ .

a) Supondo a ausência de juros, ou seja, uma taxa de juros de 0% ao mês, em quantas parcelas de R$500,00 poderia ser quitado o financiamento de R$19.000,00?

b) Considerando uma taxa de juros de 1% ao mês, parcelas fixas de R$500,00 e $n = 49$ , calcule o valor financiado $V$ obtido por meio do modelo matemático apresentado.

c) Assumindo que $n$ não precisa ser inteiro no modelo matemático apresentado, encontre $n$ para um valor financiado de R$19.000,00 que será pago em parcelas fixas de R$500,00 a uma taxa de juros de 1% ao mês.

Note e adote:

No item (b), utilize, se necessário: ${(1, 01)}^{- 48} = 0, 620260$ ; ${(1, 01)}^{- 49} = 0, 614119$ ; ${(1, 01)}^{- 50} = 0, 608039$

No item (c), a resposta pode ser apresentada em função de logaritmo

Resolução

a) Não havendo juros, fazemos simplesmente:

$V = n \cdot P \Leftrightarrow 19000 = n \cdot 500 \Leftrightarrow n = 38$

b) Temos:

$V = \frac{500}{1, 01} + \frac{500}{1, 01^{2}} + \dots + \frac{500}{1, 01^{49}}$

Podemos tratar tal soma como a soma dos 49 primeiros termos de uma progressão geométrica (PG), de primeiro termo $a_{1} = \frac{500}{1, 01}$ , e razão $q = \frac{1}{1, 01}$ . Assim, segue que:

$V = \frac{a_{1 \cdot} (1 - q^{49})}{1 - q} = \frac{\frac{500}{1, 01} \cdot [1 - {(\frac{1}{1, 01})}^{49}]}{1 - \frac{1}{1, 01}} = \frac{\frac{500}{1, 01} \cdot (1 - 1, 01^{- 49})}{\frac{1, 01 - 1}{1, 01}} = \frac{500}{0, 01} \cdot (1 - 1, 01^{- 49})$

Usando a aproximação dada, $1, 01^{- 49} \approx 0, 614119$ , segue que:

$V \approx 50000 \cdot (1 - 0, 614119) = 50000 \cdot 0, 385881 = R$ 19.294, 05$

c) Voltando à ideia da soma da PG do item (b), temos que:

$V = \frac{a_{1 \cdot} (1 - q^{49})}{1 - q} \Leftrightarrow 19000 = \frac{\frac{500}{1, 01} \cdot [1 - {(\frac{1}{1, 01})}^{n}]}{1 - \frac{1}{1, 01}} = \frac{\frac{500}{1, 01} \cdot (1 - 1, 01^{- n})}{\frac{1, 01 - 1}{1, 01}} = \frac{500}{0, 01} \cdot (1 - 1, 01^{- n}) \Leftrightarrow$

$19000 = 50000 \cdot (1 - 1, 01^{- n}) \Leftrightarrow \frac{19}{50} = 1 - 1, 01^{- n} \Leftrightarrow 1, 01^{- n} = 1 - 0, 38 \Leftrightarrow$

$1, 01^{- n} = 0, 62 \Leftrightarrow - n = \log_{1, 01} 0, 62 \Leftrightarrow n = - \log_{1, 01} 0, 62$

Observação: há uma infinidade de maneiras equivalentes de expressar essa resposta do item (c), uma vez que a conta deve apenas ser deixada indicada. Citando alguns formatos alternativos, sem envolver mudança de base:

$n = \log_{1, 01} 0, 62^{- 1} = \log_{1, 01} (\frac{1}{0, 62}) = \log_{1, 01} (\frac{100}{62}) = \log_{1, 01} (\frac{50}{31})$

Dado o fato de que as calculadoras que lidam com logaritmos geralmente permitem trabalhar com a base 10 (logaritmos decimais) e com a base $e$ (logaritmos naturais), poderíamos ainda, através da mudança de base, apontar formatos como:

$n = - \log_{1, 01} 0, 62 = - \frac{\log_{10} 0, 62}{\log_{10} 1, 01}$

Fazendo numa calculadora a conta a partir desse último formato:

$n = - \frac{\log_{10} 0, 62}{\log_{10} 1, 01} \approx - \frac{- 0, 20760}{0, 00432} = 48, 0 . . .$ (resposta ligeiramente superior a 48)