Questão 5 Fuvest 2025 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Progressão Aritmética Progressão Geométrica

Considere o quociente $(k_{n}) = \frac{n}{2^{b}}$ , em que $n, b \in ℕ^{*}$ .

a) Para $b = 3$ , $(k_{n})$ forma uma progressão. Indique se a progressão formada é aritmética ou geométrica e forneça o valor da razão.

b) Se $n$ é um número par e $b \leq 3$ , qual é o número máximo de casas decimais de $k_{n}$ ?

c) Qual é o menor $n$ , em função de $b$ , tal que $k_{1} + k_{2} + . . . + k_{n}$ é um número inteiro?

Resolução

a) Substituindo o valor de $b$ , a sequência é dada por

$k_{n} = \frac{n}{2^{3}} = \frac{n}{8}$

Desse modo, temos:

$(. . ., k_{n - 1}, k_{n}, k_{n + 1}, . . .) = (. . ., \frac{n - 1}{8}, \frac{n}{8}, \frac{n + 1}{8}, . . .)$

Daí:

$\frac{n}{8} - \frac{n - 1}{8} = \frac{n + 1}{8} - \frac{n}{8} = \frac{1}{8}$

Concluímos que $(k_{n})$ é uma progressão aritmética de razão $\frac{1}{8}$ .

b) Como $n$ é um número par, podemos reescrevê-lo da seguinte forma:

$n = 2 \cdot m,$ com $m \in ℕ^{*}$

Assim:

$k_{n} = \frac{n}{2^{b}} = \frac{2 \cdot m}{2^{b}} = \frac{m}{2^{b - 1}}$

Precisamos determinar o número máximo de casas decimais de $(k_{n})$ , para que isso aconteça o valor de $m$ deve ser ímpar (uma vez que par, conseguimos simplificar a fração da mesma forma que fizemos com a manipulação de $n$ ).

Daí, atribuindo valores para $b$ :

(1) $b = 1$ :

$k_{n} = \frac{m}{2^{b - 1}} = \frac{m}{2^{1 - 1}} = \frac{m}{2^{0}} = m$

Portanto, $k_{n}$ não possui casas decimais.

(2) $b = 2$ :

$k_{n} = \frac{m}{2^{b - 1}} = \frac{m}{2^{2 - 1}} = \frac{m}{2^{1}} = \frac{m}{2} \cdot \frac{5}{5} = \frac{5 m}{10}$

Como divisões por 10 movimentam uma casa da vírgula, então $k_{n}$ possui uma casa decimal.

(3) $b = 3$ :

$k_{n} = \frac{m}{2^{3 - 1}} = \frac{m}{2^{3 - 1}} = \frac{m}{2^{2}} = \frac{m}{4} \cdot \frac{25}{25} = \frac{25 m}{100}$

Como divisões por 100 movimentam duas casas da vírgula, então $k_{n}$ possui duas casas decimais.

Logo, o número máximo de casas decimais de $k_{n}$ é dois.

c) Seja $S_{n}$ a soma dos $n$ primeiros termos de $(k_{n})$ . Isto é:

$S_{n} = k_{1} + k_{2} + k_{3} + . . . + k_{n} = \frac{1}{2^{b}} + \frac{2}{2^{b}} + \frac{3}{2^{b}} + . . . + \frac{n}{2^{b}} = \frac{1 + 2 + 3 + . . . + n}{2^{b}}$

Em que o numerador representa uma soma de progressão aritmética de razão 1. Dessa forma:

$S_{n} = \frac{1 + 2 + 3 + . . . + n}{2^{b}} = \frac{\frac{(1 + n) \cdot n}{2}}{2^{b}} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2^{b + 1}}$

Para garantir que $S_{n}$ seja um número inteiro, devemos analisar a simplificação entre numerador e denominador.

Repare que

(1) $n$ e $n + 1$ são primos entre si, ou seja:

$m d c (n, n + 1) = 1$

(2) $n$ e $n + 1$ tem paridades diferentes, ou seja:

se $n$ é par, então $n + 1$ é ímpar; ou
se $n$ é ímpar, então $n + 1$ é par.

Daí, para poder simplificar as frações, será obrigatório os números pares se cancelarem. Como $n$ deve ser o menor valor possível, então para o cancelamento, os valores coincidem. Logo:

(1) $n$ é par:

$n = 2^{b + 1}$

Daí,

$S_{n} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2^{b + 1}} = \frac{2^{b + 1} \cdot (2^{b + 1} + 1)}{2^{b + 1}} = 2^{b + 1} + 1 (i n t e i r o)$

(2) $n + 1$ é par:

$n + 1 = 2^{b + 1} \Rightarrow n = 2^{b + 1} - 1$

Daí,

$S_{n} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2^{b + 1}} = \frac{(2^{b + 1} - 1) \cdot 2^{b + 1}}{2^{b + 1}} = 2^{b + 1} - 1 (i n t e i r o)$

Portanto, o menor valor possível é $n = 2^{b + 1} - 1$ .