Questão 6 Fuvest 2025 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Área do Triangulo Relações Métricas e Trigonométricas no Triângulo Retângulo

A partir do recorte de um quadrado cujo lado mede $10 m$ , um artista plático fez uma obra em metal representada na Figura 1, cuja planificação é mostrada na Figura 2.

Observe as Figuras 1 e 2 para responder:

a) Supondo que a medida da área da sombra externa da escultura, representada pelo triângulo $D M C$ , seja o dobro da medida da área do triângulo $D A C$ , qual é a medida do ângulo $α$ , indicado na Figura 1?

b) Supondo que a medida da área do triângulo $D M C$ seja $k$ vezes a medida da área do triângulo $D A C$ , determine o valor de $k$ em função de $α$ .

c) Qual é a medida da projeção ortogonal do segmento $A B$ no solo, supondo que o ângulo desse segmento em relação ao solo seja de $60 °$ ?

Note e adote:

$sen (60 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (60 °) = \frac{1}{2}$

Resolução

a) Da Figura 2, o prolongamento do segmento $C A$ corresponde à diagonal do quadrado.

Denotando por $E$ o vértice oposto ao vértice $C$ , temos que o triângulo $C D E$ é isósceles. Assim, a altura $D A$ , relativa à base, é também mediana do triângulo, dividindo-o em dois triângulos de mesma área.

Então, a área do triângulo $D A C$ é

$A_{D A C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10 \cdot 10}{2} = 25 m^{2}$

Nesse caso, temos a área do triângulo $D M C$

$A_{D M C} = 2 \cdot 25 = 50 m^{2}$

Como o triângulo $D M C$ é retângulo, também podemos escrever sua área na forma

$A_{D M C} = \frac{D C \cdot D M}{2} = \frac{10 \cdot D M}{2} \Rightarrow A_{D M C} = 5 \cdot D M$

Igualando as expressões:

$5 \cdot D M = 50 \Leftrightarrow D M = 10 m$

Finalmente, no triângulo $D M C$

$tg α = \frac{D M}{D C} \Leftrightarrow tg α = \frac{10}{10} \Leftrightarrow tg α = 1 \Leftrightarrow α = 45 °$

b) Considerando agora $A_{D M C} = k \cdot A_{D A C} = 25 k$ , temos que

$5 \cdot D M = 25 k \Leftrightarrow D M = 5 k$

Então,

$tg α = \frac{D M}{D C} \Leftrightarrow tg α = \frac{5 k}{10} \Leftrightarrow tg α = \frac{k}{2} \Leftrightarrow k = 2 \cdot tg α$

c) Da Figura 2, $\bar{A B}$ corresponde ao apótema do quadrado, de modo que $A B = 5 m$ .

Seja então $A'$ a projeção ortogonal do ponto $A$ , como na figura a seguir

Resulta que

$\frac{B A'}{B A} = \cos 60 ° \Leftrightarrow \frac{B A'}{5} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow B A' = 2, 5 m$