Questão 4 Fuvest 2025 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Análise Dimensional Equação fundamental da ondulatória Refração de ondas

Ondas sísmicas são ondas que se propagam em camadas de rochas no interior do manto da Terra. Essas ondas podem ser longitudinais (como o som, por exemplo) ou transversais (como as ondas que se propagam em uma corda). Um tipo de onda sísmica transversal é a chamada onda secundária (ou “onda S” ou “onda de cisalhamento”) e sua velocidade é dada por

$ν_{S} = \sqrt{\frac{μ}{ρ}}$ ,

em que $𝜇$ é o módulo de cisalhamento e $𝜌$ é a densidade (ou massa específica), parâmetros da rocha em que a onda se propaga.

a) Através de uma análise dimensional, determine a unidade do módulo de cisalhamento μ no Sistema Internacional de Unidades (SI).

Na interface entre dois tipos de rocha, pode haver refração das ondas sísmicas, e a mudança de direção é dada pela Lei de Snell, conforme mostra o exemplo da figura a seguir.

$\frac{sen θ_{1}}{ν_{S_{1}}} = \frac{sen θ_{2}}{ν_{S_{2}}}$

Velocidades de ondas $S$ típicas de alguns materiais comuns no manto terrestre são dadas na tabela a seguir.

Material	Granito	Basalto	Arenito	Calcário	Argila
Velocidade da onda S (m/s)	2900	2600	1400	2700	700

Fontes: https://gpg.geosci.xyz/content/physical_properties/seismic_velocity_duplicate.html

https://pburnley.faculty.unlv.edu/GEOL452_652/seismology/notes/SeismicNotes10RVel.html

Considere uma onda S harmônica de frequência $0, 3 Hz$ propagando-se através de uma interface entre duas camadas com composições diferentes.

b) Se a camada 1 for predominantemente composta por basalto e a camada 2 por granito, qual será a variação no comprimento de onda, $𝜆_{2} - 𝜆_{1}$ ?

c) Em outra interface, são medidos $sen 𝜃_{2} = 0, 26$ e $sen θ_{2} = 0, 52$ . Se a camada 1 for composta predominantemente de argila, qual será, dentre os materiais apresentados na tabela, aquele que melhor corresponderá à composição da camada 2? Justifique a sua resposta.

Note e adote:

Unidade de densidade (massa específica) no SI: $kg / m^{3} .$

Resolução

a) Utilizando a equação da velocidade fornecida pelo enunciado e isolando o módulo de cisalhamento para determinar a sua unidade, tem-se:

$v_{s} = \sqrt{\frac{μ}{ρ}} \Rightarrow μ = {v_{s}}^{2} \cdot ρ \Rightarrow [μ] = {(\frac{m}{s})}^{2} \cdot \frac{kg}{m^{3}} \Rightarrow [μ] = \frac{kg}{m \cdot s^{2}} .$

b) A partir da equação fundamental da ondulatória, $v = λ \cdot f$ e utilizando a invariância da frequência de uma onda, a variação no comprimento de onda será:

$λ_{2} - λ_{1} = \frac{v_{2}}{f} - \frac{v_{1}}{f} \Rightarrow λ_{2} - λ_{1} = \frac{2900 - 2600}{0, 3} \Rightarrow λ_{2} - λ_{1} = \frac{300}{0, 3} \Rightarrow λ_{2} - λ_{1} = 1000 m .$

c) Utilizando a lei Snell

$\frac{sen θ_{1}}{v_{s 1}} = \frac{sen θ_{2}}{v_{s 2}} \Rightarrow \frac{0, 26}{700} = \frac{0, 52}{v_{s 2}} \Rightarrow v_{s 2} = \frac{0, 52 \cdot 700}{0, 26} \Rightarrow v_{s 2} = 1400 m / s .$

A partir dos dados fornecidos na tabela, a composição da camada 2 que tem a velocidade de 1400 m/s é o arenito.