Questão 5 Fuvest 2025 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Cinemática Vetorial Energia Cinética na Dinâmica Impulso e Quantidade de Movimento

O “efeito estilingue” é o nome que se dá à modificação do módulo e da direção da velocidade de uma espaçonave quando ela passa nas imediações de um planeta. Ele foi utilizado, por exemplo, para encurtar em mais de 5 anos a duração da viagem da sonda New Horizons até Plutão, passando por Júpiter. A figura ao lado ilustra o efeito em uma situação na qual uma sonda de massa $500 kg$ , viajando inicialmente para a direita, move-se em direção a um planeta de massa $2, 0 \cdot 10^{27} kg$ que viaja para a esquerda. Como a massa da sonda é desprezível frente à do planeta, a trajetória deste último praticamente não se altera, embora parte de sua energia cinética seja transferida para a sonda. Nos pontos $𝐴$ e $𝐵$ indicados na figura, as distâncias entre a sonda e o planeta são tais que a energia potencial gravitacional associada à interação entre eles pode ser desprezada.

a) No ponto $𝐴$ , a velocidade $𝑣 ⃗$ da sonda em relação ao Sol tem apenas componente $𝑥$ , dada por $20 km / s$ , enquanto essa velocidade no ponto $𝐵$ é $𝑣 ⃗$ , com componente $𝑥$ igual a $- 7 km / s$ e componente $𝑦$ igual a $- 24 km / s$ . De quanto foi o aumento no módulo da velocidade da sonda entre esses dois pontos?

b) Nas mesmas condições do item anterior, determine as componentes 𝑥 e 𝑦 do vetor variação da quantidade de movimento da sonda entre os pontos $𝐴$ e $𝐵$ , bem como a tangente do ângulo entre esse vetor e o eixo $𝑥$ .

c) Nas mesmas condições dos itens anteriores, qual é a razão entre a variação da energia cinética do planeta e sua energia cinética inicial? Suponha que o módulo da velocidade inicial do planeta, em relação ao Sol, fosse de $5 km / s$ . Despreze a variação da energia potencial gravitacional associada à interação da sonda e do planeta com o Sol durante o processo.

Resolução

a) Para determinar a variação do módulo da velocidade, é necessário determinar os módulos das velocidades nos pontos A e B em relação ao Sol.

_{$v_{A} = 20 k m / s {v_{B}}^{2} = {v_{B x}}^{2} + {v_{B y}}^{2} \Rightarrow {v_{B}}^{2} = 7^{2} + 24^{2} \Rightarrow v_{B} = \sqrt{49 + 576} \Rightarrow v_{B} = \sqrt{625} \Rightarrow v_{B} = 25 km / s . Δ v_{B, A} = v_{B} - v_{A} \Rightarrow Δ v_{B, A} = 25 - 20 \Rightarrow Δ v_{B, A} = 5 km / s .$}

b) As variações das quantidades de movimentos nas direções x e y serão dadas por:

Direção x

$Δ Q_{x} = m \cdot v_{B x} - m \cdot v_{A x} \Rightarrow Δ Q_{x} = 500 \cdot (- 7) - 500 \cdot 20 \Rightarrow Δ Q_{x} = - 500 \cdot 27 \Rightarrow Δ Q_{x} = - 1, 35 \cdot 10^{4} kg \cdot km / s .$

Direção y

$Δ Q_{y} = m \cdot v_{B y} - m \cdot v_{A y} \Rightarrow Δ Q_{y} = 500 \cdot (- 24) \Rightarrow Δ Q y = - 1, 2 \cdot 10^{4} kg \cdot km / s .$

Note que as respostas acima não estão no Sistema Internacional (S.I.) uma vez que a velocidade está em km/s. Para passar para o S.I., basta multimplicar os resultados acima por 1000.

Logo, a variação da quantidade de movimento é dada pela soma vetorial das duas componentes vetoriais.

$tg θ = \frac{Δ Q_{y}}{Δ Q x} \Rightarrow tg θ = \frac{1, 2 \cdot 10^{4}}{1, 35 \cdot 10^{4}} \Rightarrow tg θ \approx 0, 89 .$

c) A partir do enunciado, a variação da energia cinético do planeta é dada pela quantidade da energia cinética que é transferida para a sonda.

$Δ E_{c_{P}} = Δ E_{c_{S}} \Rightarrow Δ E_{c_{P}} = \frac{m_{s} \cdot {v_{B}}^{2}}{2} - \frac{m_{s} \cdot {v_{A}}^{2}}{2} \Rightarrow Δ E_{c_{P}} = \frac{500 \cdot {(25 \cdot 10^{3})}^{2}}{2} - \frac{500 \cdot {(20 \cdot 10^{3})}^{2}}{2} \Rightarrow Δ E_{c_{P}} = 1, 5625 \cdot 10^{11} - 1 \cdot 10^{11} \Rightarrow Δ E_{c_{P}} = 5, 625 \cdot 10^{10} J .$

Calculando a energia cinética do planeta, tem-se:

$E_{c_{P}} = \frac{m_{p} \cdot v^{2}}{2} \Rightarrow E_{c_{P}} = \frac{2 \cdot 10^{27} \cdot {(5 \cdot 10^{3})}^{2}}{2} \Rightarrow E_{c_{P}} = 2, 5 \cdot 10^{34} J .$

Logo a razão será dada por:

$\frac{Δ E_{c_{p}}}{E_{c_{p}}} = \frac{5, 625 \cdot 10^{10}}{2, 5 \cdot 10^{34}} \Rightarrow \frac{Δ E_{c_{p}}}{E_{c_{p}}} = 2, 25 \cdot 10^{- 24} .$