Questão 19 Fuvest 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 19

Física Moderna Equação fundamental da ondulatória

O efeito Compton, descoberto na década de 1920, é hoje amplamente utilizado durante tratamentos radioterápicos. O efeito relaciona-se à mudança no comprimento de onda de fótons de raios X quando interagem com partículas como elétrons ou prótons, conforme ilustrado na figura a seguir.

Quando um fóton com comprimento de onda $λ_{0}$ incide sobre uma partícula, ele emerge dessa interação formando um ângulo $θ$ com sua direção inicial de movimento, e seu novo comprimento de onda $λ^{´}$ é dado pela relação

$λ' = λ_{0} + \frac{α}{m} (1 - \cos θ),$

em que $α$ é uma constante positiva e $m$ é a massa da partícula.

Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre a propagação das ondas eletromagnéticas, assinale a alternativa correta.

a)	A maior variação no comprimento de onda do fóton ocorre quando o ângulo $θ$ é igual a 90°.
b)	Se o ângulo $θ$ é igual a 30°, o fóton emergente tem frequência menor do que a frequência inicial.
c)	Quando $𝜃 = 0$ , a velocidade do fóton emergente é menor do que a do fóton incidente, devido à conservação da quantidade de movimento.
d)	Se o ângulo $θ$ é igual a 60°, a variação no comprimento de onda do fóton é menor se a partícula for um elétron do que se a partícula for um próton.
e)	Um fóton que emergiu perpendicularmente à sua direção inicial não sofreu mudança em sua frequência.

Resolução

Analisaremos as alternativas.

a) Incorreta

De acordo com o enunciado, o novo valor do comprimento de onda é dado pela equação:

$λ' = λ_{0} + \frac{α}{m} (1 - \cos θ) .$

A maior variação acontecerá quando o termo no parêntesis tiver seu maior valor possível. Como o cosseno varia entre -1 e 1, o maior valor de $(1 - \cos θ)$ acontecerá quando tivermos $\cos θ = - 1$ , ou seja, $θ = 180 °$ :

$λ' = λ_{0} + \frac{α}{m} [1 - \cos (180 °)] = λ_{0} + \frac{α}{m} [1 - (- 1)] = λ_{0} + 2 \frac{α}{m} .$

Note que para o ângulo de 90° teríamos:

$λ' = λ_{0} + \frac{α}{m} [1 - \cos (90 °)] = λ_{0} + \frac{α}{m} [1 - 0] = λ_{0} + \frac{α}{m} .$

que corresponde à uma variação menor no comprimento de onda que o obtido para 180^o.

b) CORRETA

Para $θ = 30 °$ temos:

$λ' = λ_{0} + \frac{α}{m} [1 - \cos (30 °)] \Rightarrow$

$λ' = λ_{0} + \frac{α}{m} (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx λ_{0} + \frac{α}{m} (1 - 0, 87) = λ_{0} + 0, 13 \frac{α}{m}$

Isso mostra que teremos $λ' > λ_{0}$ . Como a frequência é inversamente proporcional ao comprimento de onda, $f = v / λ$ , temos que $f' < f_{0}$ , isto é, a nova frequência será menor do que a original.

c) Incorreta

Como não há mudança no meio de propagação do fóton, não há alteração na sua velocidade.

d) Incorreta

Independente do ângulo de espalhamento, como a massa está no denominador da equação apresentada, quanto maior a massa menor será a variação no comprimento de onda. Então para o elétron (menor massa) deve haver uma variação maior no comprimento de onda que para o próton (maior massa).

e) Incorreta

Se ele emergiu perpendicular à sua direção original ele terá ângulo $θ = 90^{o}$ e, neste caso, teremos:

$λ' = λ_{0} + \frac{α}{m},$

tal como calculado no item a.