Questão 69 Fuvest 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 69

Função Modular

No plano cartesiano $O x y$ , o gráfico que melhor representa a função $f (x) = |x^{2} + 5 x - 6| - 5 x + 6$ é dado por

a)
b)
c)
d)
e)

Resolução

Abrindo o módulo, encontramos:

$|x^{2} + 5 x - 6| = \{\begin{cases} x^{2} + 5 x - 6, se x^{2} + 5 x - 6 \geq 0 \\ - (x^{2} + 5 x - 6), se x^{2} + 5 x - 6 < 0 \end{cases}$

Analisando sinal de $y = x^{2} + 5 x - 6$ :

Daí:

$|x^{2} + 5 x - 6| = \{\begin{array}{cl} x^{2} + 5 x - 6, & se x \leq - 6 \\ - x^{2} - 5 x + 6, & se - 6 < x \leq 1 \\ x^{2} + 5 x - 6, & se x > 1 \end{array}$

Desse modo, a lei de formação da função $f$ fica definida por:

(1) para $x \leq - 6$ e para $x > 1$ :

$f (x) = x^{2} + 5 x - 6 - 5 x + 6 = x^{2}$

(2) para $- 6 < x \leq 1$ :

$f (x) = - x^{2} - 5 x + 6 - 5 x + 6 = - x^{2} - 10 x + 12$

Ou seja:

$f (x) = \{\begin{cases} x^{2}, & se x \leq - 6 \\ - x^{2} - 10 x + 12, & se - 6 < x \leq 1 \\ x^{2}, & se x > 1 \end{cases}$

Pela lei de formação, conseguimos identificar três arcos de parábola:

(1) para $x \leq - 6$ : arco de parábola com concavidade para cima.

(2) para $- 6 < x \leq 1$ : arco de parábola com concavidade para baixo.

(3) para $x > 1$ : arco de parábola com concavidade para cima.

Portanto, a única alternativa que condiz com a lei de formação é alternativa B.