Questão 70 Fuvest 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 70

Progressão Aritmética

Seja $(a_{n})$ uma progressão aritmética cujo primeiro termo é $a_{1}$ e a razão $r$ , ambos números reais. É possível construir uma outra sequência $(b_{n})$ , em que o primeiro termo é um número real $b_{1}$ e com a seguinte lei de formação

$b_{n + 1} = b_{n} + a_{n}$ ,

sendo $n > 0$ um número natural.

Por exemplo, se $b_{1} = 0$ e

$(a_{n}) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .)$ ,

tem-se

$(b_{n}) = (0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .)$ .

Com base em tais informações, os valores de $a_{1}$ e $r$ foram escolhidos de forma que $(b_{n})$ também seja uma progressão aritmética de razão $r'$ . Nessas condições, é correto afirmar:

a)	$r' = a_{1}$
b)	$r' = 2 a_{1}$
c)	$r' = r$
d)	$r' = 2 r$
e)	$r' = b_{1} - a_{1}$

Resolução

Uma sequência $(b_{n})$ será uma progressão aritmética se a diferença entre qualquer elemento da sequência e o elemento anterior for constante (chamada de razão). Para que $(b_{n})$ seja uma progressão aritmética de razão $r'$ , devemos ter $b_{n + 1} - b_{n}$ constante e igual a $r'$ .

Do enunciado temos que $b_{n + 1} = b_{n} + a_{n}$ , ou seja, $\underset{r'}{\underset{⏟}{b_{n + 1} - b_{n}}} = a_{n}$ .

Donde concluímos que, para que $r'$ seja constante, $(a_{n})$ também deverá ser. Daí que

$a_{n} = r' = a_{1}$