Questão 75 Fuvest 2025 - 1ª fase

O vaso é formado por dois troncos de cone e iremos, inicialmente, calcular o volume de um deles e depois dobrar este valor.

Lembre-se de que para calcular o volume do tronco de cone, podemos levar em consideração que o tronco é obtido retirando-se um cone menor de um cone maior - daí que seu volume será a diferença entre os volumes do cone maior $V_C$ e do menor $V_c$.

Além disso, a razão entre estes volumes é dado pelo cubo da razão entre os raios das bases, isto é,

$\frac{V_C}{V_c}={\left(\frac{R}{r}\right)}^3=\frac{V_C}{V_c}={\left(\frac{10}{5}\right)}^3\iff V_C=8V_c$

Uma vez que o volume do tronco é $V_C-V_c$, concluímos que o volume do tronco será dado por $7V_c$.

Ora, $V_c=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }·5^2·{\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}$ onde a altura deste cone menor é obtida através de uma semelhança de triângulos:

$\frac{R}{r}=\frac{H_C}{h_c}\iff \frac{10}{5}=\frac{12+h_c}{h_c}\iff h_c=12 \text{cm}$

(onde $H_C$ é a altura do cone maior e é dada pela altura do cone menor $h_c$ mais a atlrua do tronco $h$)

Logo, $V_c=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }·5^2·12=100\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^3$ e, portanto, o volume do tronco será $7·100\mathrm{\pi }=700\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^3$.

Por fim, o vaso terá volume:

$V=2·700\iff \boxed{V=1400\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^3}$