Questão 76 Fuvest 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 76

Cilindros

Considere um cilindro $C$ de altura $h > 0$ e cujo raio das circunferências, do topo e da base, é $r > 0$ ; um cilindro $C_{1}$ cujo raio é igual ao de $C$ e altura igual a $\frac{h}{2}$ ; e um cilindro $C_{2}$ com altura $h$ e raio igual a $\frac{r}{2}$ . Sendo $V$ , $V_{1}$ e $V_{2}$ os volumes e $A$ , $A_{1}$ e $A_{2}$ as áreas laterais dos cilindros $C$ , $C_{1}$ e $C_{2}$ , respectivamente, é correto afirmar:

a)	$V = V_{1} + V_{2}$ e $A = A_{1} + A_{2}$
b)	$V = V_{1} + V_{2}$ e $A = A_{1} + 2 A_{2}$
c)	$V = V_{1} + 2 V_{2}$ e $A = A_{1} + 2 A_{2}$
d)	$V = V_{1} + 2 V_{2}$ e $A = A_{1} + A_{2}$
e)	$V = 2 V_{1} + 2 V_{2}$ e $A = 2 A_{1} + 2 A_{2}$

Resolução

Considerando os três cilindros, temos as seguintes informações:

	ALTURA	RAIO
CILINDRO C	$h$	$r$
CILINDRO C₁	$\frac{h}{2}$	$r$
CILINDRO C₂	$h$	$\frac{r}{2}$

Daí, calculando os volumes:

	VOLUME
CILINDRO C	$V = π \cdot r^{2} \cdot h$
CILINDRO C₁	$V_{1} = π \cdot r^{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{π \cdot r^{2} \cdot h}{2} = \frac{V}{2}$
CILINDRO C₂	$V_{2} = π \cdot {(\frac{r}{2})}^{2} \cdot h = π \cdot \frac{r^{2}}{4} \cdot h = \frac{π \cdot r^{2} h}{4} = \frac{V}{4}$

Desse modo, concluímos que:

$V = \frac{V}{2} + 2 \cdot \frac{V}{4} \Leftrightarrow V = V_{1} + 2 \cdot V_{2}$

Agora, calculando as áreas laterais:

	ÁREA
CILINDRO C	$A = 2 π \cdot r \cdot h$
CILINDRO C₁	$A_{1} = 2 π \cdot r \cdot \frac{h}{2} = \frac{2 π \cdot r \cdot h}{2} = \frac{A}{2}$
CILINDRO C₂	$A_{2} = 2 π \cdot \frac{r}{2} \cdot h = \frac{2 π \cdot r \cdot h}{2} = \frac{A}{2}$

Portanto:

$A = \frac{A}{2} + \frac{A}{2} \Leftrightarrow A = A_{1} + A_{2}$