Questão 77 Fuvest 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 77

Estudo Analítico da Circunferência

Em relação ao plano cartesiano $O x y$ , é correto afirmar que as equações $x^{2} + y^{2} - 4 x = - 3$ e $x^{2} + y^{2} - 4 y = - 3$ representam

a)	duas circunferências com raios de mesma medida e que se interceptam em dois pontos.
b)	duas circunferências com raios de medidas diferentes e que se interceptam em dois pontos.
c)	duas circunferências que se interceptam em um único ponto.
d)	duas circunferências concêntricas e que não se interceptam.
e)	duas circunferências com centros distintos e que não se interceptam.

Resolução

Determinando centro e raio de cada uma das circunferências pelo método de completamento de quadrados:

(1) CIRCUNFERÊNCIA 1:

$x^{2} + y^{2} - 4 x = - 3 \Leftrightarrow \underset{{(x - 2)}^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} - 4 x + 4}} + y^{2} = - 3 + 4 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 0)}^{2} = 1^{2}$

Portanto, centro (2,0) e raio 1.

(2) CIRCUNFERÊNCIA 2:

$x^{2} + y^{2} - 4 y = - 3 \Leftrightarrow x^{2} + \underset{{(y - 2)}^{2}}{\underset{⏟}{y^{2} - 4 y + 4}} = - 3 + 4 \Leftrightarrow {(x - 0)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1^{2}$

Portanto, centro (0,2) e raio 1.

E ainda, a intersecção entre as duas curvas é dada por:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 4 x = - 3 \\ x^{2} + y^{2} - 4 y = - 3 \end{cases}$

Subtraindo uma equação da outra, vem:

$4 x - 4 y = 0 \Leftrightarrow x = y$

Substituindo $y = x$ na primeira equação:

$x^{2} + x^{2} - 4 x = - 3 \Rightarrow 2 x^{2} - 4 x + 3 = 0$

O discriminante da equação será

$∆ = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = - 8 < 0$

E, com isso, o sistema não tem solução.

Desse modo, concluímos:

(1) as circunferências possuem centros distintos; e

(2) não se interceptam.

Segue ilustração das circunferências no plano cartesiano. e que também serviria de argumentação para se chegar à alternativa correta: