Questão 20 Unesp 2025 - 2ª fase

a) Primeira questão: essa lente apresenta comportamento óptico convergente ou divergente?

O comportamento é divergente, uma vez que o caminho dos raios de luz refratados sofre um desvio que tende a afastá-los do eixo principal, tal como a figura abaixo ilustra.

Segunda questão: a imagem dessa vela, conjugada por essa lente, pode ser projetada sobre um anteparo?

Não, pois a imagem é virtual, como pode ser verificado pelo encontro do caminho aparente dos raios de luz refratados (indicados com linhas pontilhadas). Apenas imagens reais são projetáveis.

b) A figura abaixo ilustra a imagem formada, bem como a diferença $h$ entre as alturas da vela e de sua imagem.

Do triângulo retângulo destacado em vermelho, temos que

$\mathrm{tg}30°=\frac{h}{45}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow h=\frac{45\sqrt{3}}{3}=15\sqrt{3} \mathrm{cm}.$

A figura abaixo mostra dois triângulos relevantes no cálculo da distância $p\text{'}=DC$ entre a imagem e o centro óptico $O$ da lente. Os triângulos ABC (verde) e ODC (marrom) são semelhantes pois os ângulos $A\hat{C}B$ e $O\hat{C}D$ são opostos pelo vértice e os ângulos em B e D são ambos retos.

Temos que $AB=h=15\sqrt{3} \mathrm{cm}$, calculado anteriormente. Além disso,

$BC=45-DC=45-p\text{'},$

$OD=18\sqrt{3}-AB=18\sqrt{3}-15\sqrt{3}=3\sqrt{3} \mathrm{cm}.$

Sendo os triângulos ABC e ODC semelhantes, temos:

$\frac{AB}{BC}=\frac{OD}{DC}\Rightarrow \frac{15\sqrt{3}}{45-p\text{'}}=\frac{3\sqrt{3}}{p\text{'}}\Rightarrow$

$15\bcancel{\sqrt{3}}p\text{'}=3\bcancel{\sqrt{3}}\left(45-p\text{'}\right)\Rightarrow$

$15p\text{'}=135-3p\text{'}\Rightarrow$

$18p\text{'}=135\Rightarrow p\text{'}=\frac{135}{8}\Rightarrow$

$\boxed{\mathrm{p}\text{'}=7,5 \mathrm{cm}}.$

Com isso, temos que a distância entre a imagem da vela e o centro óptico da lente é de 7,5 cm.