Questão 22 Unesp 2025 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 22

Sistemas Lineares

Cada um de 30 estudantes de determinada escola obteve, em uma prova de matemática, ou nota 2, ou nota 3, ou nota 4, ou nota 5. Sobre as notas dos estudantes, considere que:

1) a soma de todas as trinta notas foi 93;

2) a quantidade de notas 3 foi maior do que a de notas 5, e menor do que a de notas 4;

3) o número de estudantes que tiraram nota 4 é divisível por 10;

4) um número par de estudantes tirou nota 5.

Sejam x, y, z e w os números, não nulos, de estudantes que tiraram notas 2, 3, 4 e 5, respectivamente.

a) Apresente argumentos matemáticos que justifiquem que z é diferente de 20.

b) Determine x, y, z e w.

Resolução

As informações do enunciado permitem escrever o seguinte sistema:

$\{\begin{cases} x + y + z + w = 30 \\ 2 x + 3 y + 4 z + 5 w = 93 \\ w < y < z \\ z = 10 m, m \in ℕ \\ w = 2 n, n \in ℕ \end{cases}$

a) Se $z = 20$ , as duas primeiras equações do sistema poderiam ser reescritas como:

$\{\begin{cases} x + y + w = 10 (i) \\ 2 x + 3 y + 5 w = 13 (i i) \end{cases}$

Daí

$(i i) - 2 \cdot (i) \Rightarrow y + 3 w = - 7$

Ora, sendo $x$ , $y$ e $w$ números naturais, é impossível que a soma $y + 3 w$ seja um número negativo.

Portanto, é impossível obter solução com $z = 20$ .

b) Note que $z = 30$ também é impossível, uma vez que $4 z = 4 \cdot 30 = 120$ já extrapolaria a soma das notas.

Além disso, $z > 0$ , pois deve ser maior que $y$ .

Então, para que $z$ seja um número divisível por $10$ , resta apenas a possibilidade $z = 10$ .

Assim, reduzimos o sistema a:

$\{\begin{cases} x + y + w = 20 (i i i) \\ 2 x + 3 y + 5 w = 53 (i v) \\ w < y < 10 \\ z = 10 \\ w = 2 n, n \in ℕ \end{cases}$

Manipulando:

$(i v) - 2 \cdot (i i i) \Rightarrow y + 3 w = 13$

Vamos analisar as soluções dessa equação nas quais $w$ é um número par:

$w = 0$

Nesse caso, teríamos $y = 13$ , o que contradiz a inequação $y < 0$ .

$w = 4$

Nesse caso, teríamos $y = 1$ o que contradiz a inequação $w < y$ .

$w = 2$

Nesse caso, temos

$y + 3 \cdot 2 = 13 \Leftrightarrow y = 7$ .

Além disso, substituindo em $(i i i)$ :

$x + 7 + 2 = 20 \Leftrightarrow x = 11$

Portanto,a solução do sistema é

$(x, y, z, w) = (11, 7, 2, 10)$