Questão 23 Unesp 2025 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 23

Incentro Área do Setor Área do Círculo

O centro do círculo branco indicado na figura divide a altura relativa à base $\bar{B C}$ do triângulo isósceles ABC, com $A B = A C$ , em dois segmentos de reta: um de 5 cm e outro de 3 cm. Na figura há, ainda, um setor circular de centro A e arco $\overset{⏜}{B C}$ .

a) Calcule o perímetro do triângulo ABC, que circunscreve o círculo branco.

b) Adotando $sen 53, 13^{\circ} = 0, 8$ e $π = 3, 14$ , calcule, em $c m ²$ , a melhor aproximação inteira da medida da área da região indicada em amarelo na figura.

Resolução

a) Denotaremos por $I$ o centro do círculo e por $θ$ a medida dos ângulos $A \hat{B} C$ e $A \hat{C} B$ .

Sejam $D$ e $E$ , respectivamente, os pontos que o círculo tangencia os lados $A C$ e $B C$ do triângulo.

Como o triângulo $A B C$ é isósceles, a altura relativa à base coincide com a respectiva mediana. Uma vez que $I$ divide a altura em segmentos de $5 cm$ e $3 cm$ , temos a seguinte figura, cujas medidas são dadas em centímetros:

O segmento $A D = 4 cm$ se deve ao fato do triângulo $A D I$ ser um triângulo retângulo cujos lados formam um terno Pitagórico (hipotenusa $A I = 5 cm$ e cateto $D I = 3 cm$ ).

Os segmentos $C D$ e $C E$ são iguais, pois são segmentos tangentes à circunferência.

Então, pelo Teorema de Pitágoras no triângulo $A C E$ :

${(x + 4)}^{2} = x^{2} + 8^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 8 x + 16 = x^{2} + 64 \Leftrightarrow$

$8 x = 48 \Leftrightarrow x = 6 cm$

Assim, $A B = A C = 10 cm$ e $B C = 12 cm$ .

Portanto, o perímetro do triângulo $A B C$ é

$P = 10 + 10 + 12 = 32 cm$

b) Como

$sen (θ) = \frac{A E}{A C} = \frac{8}{10} = 0, 8$

concluímos que $θ = 53, 13 °$ . Então,

$m (B \hat{A} C) = 180 ° - 2 \cdot 53, 16 = 73, 74 °$

Então, a área em amarelo é

$A_{a m a r e l o} = A_{s e t o r} - A_{c í r c u l o} A_{a m a r e l o} = \frac{73, 74 °}{360 °} \cdot π \cdot 10^{2} - π \cdot 3^{2}$

Utilizando a aproximação $π = 3, 14$ , obtemos:

$A_{a m a r e l o} = \frac{7374 \cdot 3, 14}{360} - 9 \cdot 3, 14 A_{a m a r e l o} = 64, 3176 - 28, 26 A_{a m a r e l o} = 36, 0576 {cm}^{2}$

Portanto, o valor inteiro que mais se aproxima da área em amarelo é $A_{a m a r e l o} \approx 36 {cm}^{2}$ .

Observação: Não é possível fazer aproximações pertinentes no cálculo da área em amarelo. Por exemplo, o candidato que tentasse simplificar o cálculo dessa área aproximando a fração $\frac{73, 74}{360}$ para $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$ , chegaria erroneamente no valor $34, 54 {cm}^{2}$ para a área em amarelo, cujo valor inteiro mais próximo seria $35 {cm}^{2}$ .