Questão 24 Unesp 2025 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 24

Função Quadrática Reta (G.A.)

Considere V sendo o vértice da parábola descrita pela função $g (x) = 4 x - \frac{x^{2}}{2}$ , definida de $ℝ$ em $ℝ$ , e $r$ sendo a reta que passa pelos pontos $A (- 2, 2)$ e $V$ .

a) Determine a medida do ângulo agudo que a reta $r$ forma com o eixo das abscissas.

b) Determine todos os pontos $(x, y)$ , pertencentes ao gráfico de $y = g (x)$ , tais que $x$ e $y$ sejam números inteiros positivos.

Resolução

a) Primeiramente vamos determinar o vértice da parábola:

Pela equação fornecida, temos que $g (x) = 4 x - \frac{x^{2}}{2}$ , logo:

$x_{V} = - \frac{4}{2 \cdot (- \frac{1}{2})} = 4$

$y_{V} = g (4) = 4 \cdot 4 - \frac{4^{2}}{2} = 16 - 8 = 8$

Portanto, $V (4, 8)$ .

Agora determinaremos o coeficiente angular da reta $r$ :

$m_{r} = \frac{8 - 2}{4 - (- 2)} = \frac{6}{6} = 1$

Seja $α$ a medida do ângulo agudo que a reta $r$ forma com o eixo das abscissas. Temos:

$tg α = 1 \Rightarrow α = 45 °$

b) Resolvendo a inequação para $g (x) > 0$ :

$4 x - \frac{x^{2}}{2} > 0 \Rightarrow \frac{8 x - x^{2}}{2} > 0 \Rightarrow 8 x - x^{2} > 0$

Como trata-se de uma parábola com concavidade para baixo e raízes:

$8 x - x^{2} = 0 \Rightarrow x \cdot (8 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 ou x = 8$

então, $g (x) > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 8$ .

Ademais, temos que $x$ e $g (x) = 4 x - \frac{x^{2}}{2}$ devem ser inteiros, e para que isso ocorra $x$ tem que ser par. Logo, teremos os seguintes três possibilidades:

$x = 2 \Rightarrow y = g (2) = 4 \cdot 2 - \frac{2^{2}}{2} = 6$

$x = 4 \Rightarrow y = g (2) = 4 \cdot 4 - \frac{4^{2}}{2} = 8$

$x = 6 \Rightarrow y = g (6) = 4 \cdot 6 - \frac{6^{2}}{2} = 6$

Portanto, os pontos são $(2, 6), (4, 8) e (6, 6)$ .