Questão 87 Unesp 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 87

Função Afim

A figura indica dois quadrados, ABCD e AEFG, no plano cartesiano de eixos ortogonais. Os pontos $A (0, 1)$ e $P (x, y)$ são pontos comuns aos dois quadrados, e os vértices B e E têm coordenadas $(6, 0)$ e $(2, 0)$ , respectivamente.

Nessas condições, a ordenada do ponto P é

a)	$- \frac{34}{25}$
b)	$- \frac{33}{25}$
c)	$- \frac{13}{10}$
d)	$- \frac{17}{13}$
e)	$- \frac{27}{20}$

Resolução

Primeiramente, vamos determinar reta à qual o segmento DA pertence passa pelos pontos (-1,-5) e (0,1).

Seu coeficiente angular será:

$a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{1 - (- 5)}{0 - (- 1)} = \frac{6}{1} = 6$

De acordo com a imagem seu coeficiente linear será b=1.

Sua equação será:

$y = 6 x + 1$ (I)

Agora, vamos determinar a reta à qual o segmento GF pertence passa pelos pontos (-1,-1) e (1,-2).

Seu coeficiente angular será

$a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{- 2 - (- 1)}{1 - (- 1)} = - \frac{1}{2}$

O coeficiente linear pode ser encontrado usando algum dos pontos pelos quais esta a reta passa. Usando (-1,-1) teremos:

$y = a x + b \Rightarrow - 1 = - \frac{1}{2} . (- 1) + b \Rightarrow b = - \frac{3}{2}$

Sua equação será:

$y = - \frac{x}{2} - \frac{3}{2}$ (II)

Por fim, isolando o x nas equações I e II teremos, respectivamente:

$x = \frac{y - 1}{6}$ e $x = - 2 y - 3$

O ponto P é o ponto de intersecção das duas retas mencionadas acima, portanto:

$\frac{y - 1}{6} = - 2 y - 3 \Rightarrow y - 1 = - 12 y - 18 \Rightarrow 13 y = - 17 \Rightarrow y = - \frac{17}{13}$

A ordenada do ponto P, que seria a coordenada y, terá valor $- \frac{17}{13}$