Questão 88 Unesp 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 88

Volume (do Cone) Relações Métricas e Trigonométricas

O retângulo ABCD, com $A B = 20 c m$ e $A D = 15 c m$ , será espacialmente girado de $180 º$ , tendo como eixo de rotação a reta $r$ , que passa por seus vértices B e D, como mostra a figura.

O sólido espacial gerado após essa rotação tem volume igual a

a)	$2400 π {cm}^{3}$ .
b)	$1200 π {cm}^{3}$ .
c)	$3000 π {cm}^{3}$ .
d)	$3200 π {cm}^{3}$ .
e)	$4500 π {cm}^{3}$ .

Resolução

Sejam $A'$ e $C'$ as projeções ortogonais dos pontos $A$ e $C$ , respectivamente, sobre a reta $r$ .

Observe o triângulo $A B D$ . Aplicando as relações métricas nesse triângulo retângulo, temos:

$B D^{2} = 15^{2} + 20^{2} \Rightarrow B D = 25 c m$ ;
$25 \cdot A A' = 15 \cdot 20 \Leftrightarrow A A' = 12 c m$ ;
$15^{2} = A' D \cdot 25 \Rightarrow A' D = 9 c m$ ;
$20^{2} = A' B \cdot 25 \Rightarrow A' B = 16 c m$ .

Analogamente, no triângulo $B C D$ encontramos $C C' = 12 c m$ , $C' B = 9 c m$ e $C' D = 16 c m$ .

Após a rotação de 180° em torno da reta $r$ , os triângulos $C' C D$ e $A' A B$ formam duas metades de um cone com raio da base medindo 12 cm e altura 16 cm. Assim, temos que:

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 12^{2} \cdot 16 \Leftrightarrow V_{1} = 768 π cm ³$ .

Já os triângulos $C' C B$ e $A' A D$ formam duas metades de um cone com raio da base medindo 12 cm e altura 9 cm. Ou seja:

$V_{2} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 12^{2} \cdot 9 \Leftrightarrow V_{2} = 432 π cm ³$ .

Portanto,

$V_{s ó l i d o} = V_{1} + V_{2 \Rightarrow} V_{s ó l i d o} = 768 π + 432 π \Leftrightarrow V_{sólido} = 1200 π cm ³ .$