Questão 89 Unesp 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 89

Função Logarítmica Ponto Médio (G.A.)

A figura indica o gráfico da função $f (x) = \log_{2} (x - 1)$ , sendo P e Q os pontos de intersecção da assíntota e do gráfico com o eixo x, respectivamente.

Sabendo-se que $M (x_{M}, y_{M})$ pertence ao gráfico de $y = f (x)$ e que $x_{M}$ é o ponto médio de $\bar{P Q}$ , então $y_{M}$ é igual a

a)	-0,8.
b)	-1,1.
c)	-1.
d)	-0,9.
e)	-1,2.

Resolução

A função logarítmica admite como assíntota a reta vertical $x = 1$ , dado limitação do domínio pelo logaritmando:

$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

logo a abscissa do ponto $P$ é $x_{P} = 1$

O ponto $Q$ pertence ao gráfico da função $f$ e sua ordenada é zero. Então, substituímos na função para determinar sua abscissa.

$\log_{2} (x_{Q} - 1) = 0 \Rightarrow x_{Q} - 1 = 2^{0} \Leftrightarrow x_{Q} - 1 = 1 \Leftrightarrow x_{Q} = 2 .$

Pelo enunciado, sabemos que $(x_{M}, 0)$ é o ponto médio do segmento $\bar{P Q}$ , ou seja:

$x_{M} = \frac{x_{P} + x_{Q}}{2} \Rightarrow x_{M} = \frac{1 + 2}{2} \Leftrightarrow x_{M} = \frac{3}{2} .$

Para determinar a ordenada do ponto $M$ , substituímos na lei da função:

$y_{M} = f (\frac{3}{2}) \Rightarrow \log_{2} (\frac{3}{2} - 1) = \log_{2} (\frac{1}{2}) = - 1 .$

Portanto, $y_{M} = - 1 .$

OBSERVAÇÃO: O enunciado afirma " $x_{M}$ é o ponto médio de $\bar{P Q}$ ", no entanto $x_{M}$ não é o ponto, e sim sua abscissa.