Questão 90 Unesp 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 90

Progressão Geométrica

Uma partícula desloca-se sobre os lados de um triângulo equilátero ABC, de lado 10 cm, partindo do vértice A no sentido horário, conforme a figura. A intensidade da velocidade inicial dessa partícula, que é de 6 m/min, sempre dobra após a partícula percorrer um lado inteiro do triângulo e, durante o percurso de cada lado do triângulo, ela permanece constante.

Nessas condições, e desconsiderando os intervalos de tempo de aceleração dessa partícula, ela terá dado 10 voltas completas ao longo do perímetro do triângulo em, aproximadamente,

a)	2s.
b)	12s.
c)	6s.
d)	3s.
e)	1s.

Resolução

Sabemos que a velocidade dobra de intensidade a cada lado de $10 cm$ percorrido.

Temos a velocidade inicial:

$V_{1} = 6 m / m i n \Rightarrow V_{1} = \frac{600 c m}{60 s} \Rightarrow V_{1} = 10 c m / s$

Logo, o tempo que a partícula levará para percorrer o primeiro lado será:

$t_{1} = \frac{10}{10} = 1 s$

Como, a velocidade dobra a cada travessia de lado, teremos a seguinte relação:

$V_{2} = 20 c m / s \Rightarrow t_{2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} s$

$V_{3} = 40 c m / s \Rightarrow t_{2} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} s$

$V_{4} = 80 c m / s \Rightarrow t_{2} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8} s$

ou seja, os tempos gastos em cada lado formam uma $P G$ de razão $\frac{1}{2}$ com primeiro termo igual a $1$ .

Como serão 10 voltas completas, o número de lados que a partícula irá percorrer será:

$10 \cdot 3 = 30 lados$

Então, o tempo total será dado pela soma dos trinta primeiros termos dessa sequência, isto é :

$S_{30} = \frac{1 (1 - {(\frac{1}{2})}^{30})}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \cdot (1 - {(\frac{1}{2})}^{30}) \approx 2 s$ .

Note que ${(\frac{1}{2})}^{30}$ é um número tão pequeno, se comparado à unidade, que $1 - {(\frac{1}{2})}^{30} ≅ 1$ .