Questão 102 Enem 2019 - dia 2 - Matemática e Ciências da Natureza

Questão 102

Lei de Fourier

O objetivo de recipientes isolantes térmicos é minimizar as trocas de calor com o ambiente externo. Essa troca de calor é proporcional à condutividade térmica k e à área interna das faces do recipiente, bem como à diferença de temperatura entre o ambiente externo e o interior do recipiente, além de ser inversamente proporcional à espessura das faces.

A fim de avaliar a qualidade de dois recípientes A (40 cm x 40 cm x 40 cm) e B (60 cm x 40 cm x 40 cm), de faces de mesma espessura, uma estudante compara suas condutividades térmicas K_Ae K_B. Para isso suspende, dentro de cada recipiente, blocos idênticos de gelo a 0 ºC, de modo que suas superfícies estejam em contato apenas com o ar. Após um intervalo de tempo, ela abre os recipientes enquanto ambos ainda contêm um pouco de gelo e verifica que a massa de gelo que se fundiu no recipiente B foi o dobro da que se fundiu no recipiente A.

A razão $\frac{k_{A}}{k_{B}}$ é mais próxima de

a)	0,50.
b)	0,67.
c)	0,75.
d)	1,33.
e)	2,00.

Resolução

Como o próprio enunciado sugere, temos que fazer uso da Lei de Fourier:

$ϕ = k \frac{A \cdot Δ θ}{e},$ EQ (1)

sendo $ϕ$ o fluxo de calor que atravessa uma parede de espessura $e$ , área $A$ e diferença de temperatura $Δ θ$ entre as duas duperfícies.

Para os dados do enunciado, a quantidade de calor absorvida pelo gelo dentro do recipiente B foi maior que a absorvida pelo gelo do recipiente A, uma vez que o calor $Q$ absorvido é proporcional à quantidade de massa $m$ que mudou de estado ( $Q = m \cdot L$ , sendo $L$ o calor latente de fusão do gelo). Assim, podemos estabelecer uma comparação entre os fluxos de calor através das duas caixas, já que ele é a taxa de calor transmitida por condução:

$ϕ = \frac{Q}{Δ t} \Rightarrow Q = ϕ \cdot Δ t .$ EQ (2)

sendo $Δ t$ o tempo que leva para o calor $Q$ atravessar a parede de espessura $e$ e área $A$ .

Como já mencionado, sabemos que $Q_{B} = 2 \cdot Q_{A}$ , e, com o uso da equação (2), temos que

$ϕ_{B} \cdot Δ t = 2 \cdot ϕ_{A} \cdot Δ t .$

Como os tempos são iguais,

$ϕ_{B} = 2 \cdot ϕ_{A} .$

Agora, em conjunto com a equação (1), obtemos a relação:

$k_{B} \frac{A_{B} \cdot Δ θ}{e} = 2 \cdot k_{A} \frac{A_{A} \cdot Δ θ}{e},$

que pode ser simplificada para

$k_{B} \cdot A_{B} = 2 \cdot k_{A} \cdot A_{A} .$ EQ (3)

uma vez que a água (assim como substâncias puras em geral) não muda sua temperatura durante a mudança de estado de agregação.

Temos agora que calcular a área total de contato entre a parte interna e externa de ambas as caixas, desconsiderando a influência da espessura no cálculo da área. Para o recipiente A, temos seis paredes de dimensões 40 cm x 40 cm, dando uma área total de:

$A_{A} = 6 \cdot 40 \cdot 40 = 9600 {cm}^{2}$ .

Já o recipiente B, possui duas faces de dimensões 40 cm x 40 cm e quatro de 60 cm x 40 cm, resultando em uma área total:

$A_{B} = 2 \cdot 40 \cdot 40 + 4 \cdot 60 \cdot 40 = 12800 {cm}^{2}$ .

Substituindo estes dois valores obtidos na equação (3), obtemos:

$k_{B} \cdot 12800 = 2 \cdot k_{A} \cdot 9600 \Rightarrow$

$k_{B} \cdot 128 = k_{A} \cdot 192 \Rightarrow$

$\frac{k_{A}}{k_{B}} = \frac{128}{192} \Rightarrow$

$\frac{k_{A}}{k_{B}} = 0, 6 \approx 0, 67$ .