Questão 137 Enem 2019 - dia 2 - Matemática e Ciências da Natureza

Questão 137

Equações e inequações logarítmicas

A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com pH < 7) a flor é azul, enquanto que em solo alcalino (ou seja, com pH > 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com pH inferior a 8. Sabe-se que pH = -log₁₀x, em que x é a concentração de íon hidrogênio (H⁺).

Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma

a)	qualquer valor acima de 10^-8.
b)	qualquer valor positivo inferior a 10^-7.
c)	valores maiores que 7 e menores que 8.
d)	valores maiores que 70 e menores que 80.
e)	valores maiores que 10^-8 e menores que 10^-7.

Resolução

Para que a Hydrangea macrophylla seja cor-de-rosa, a planta deve ser cultivada em solo alcalino, ou seja, $p H > 7$ .

No entanto, para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, temos que $p H < 8$ , assim $7 < p H < 8$ .

Como $p H = - \log_{10} x$ , tal que $x$ é a concentração de íon hidrogênio (H⁺), obtemos:

$7 < - \log_{10} x < 8 \Leftrightarrow - 8 < \log_{10} x < - 7 \Leftrightarrow \log_{10} 10^{- 8} < \log_{10} x < \log_{10} 10^{- 7}$

Nesta inequação logarítmica, a base é maior do que 1, então mantemos o sinal da desigualdade ao compararmos os logaritmandos, visto que as funções logarítmicas são cresscentes quando suas bases são maiores que 1:

$10^{- 7} > x > 10^{- 8}$ , o que equivale a $10^{- 8} < x < 10^{- 7}$ .

Portanto deve-se preparar o solo de modo que $x$ assuma valores maiores que $10^{- 8}$ e menores que $10^{- 7}$ .