Questão 155 Enem 2019 - dia 2 - Matemática e Ciências da Natureza

Questão 155

Divisibilidade

Após o Fórum Nacional Contra a Pirataria (FNCP) incluir a linha de autopeças em campanha veiculada contra a falsificação, as agências fiscalizadoras divulgaram que os cinco principais produtos de autopeças falsificados são: rolamento, pastilhas de freio, caixa de direção, catalisador e amortecedor.

Após uma grande apresentação, as peças falsas foram cadastradas utilizando-se a codificação:

Disponível em: www.oficinabrasil.com.br.

Acesso em: 25 ago. 2014 (Adaptado).

1: rolamento, 2: pastilha de freio, 3: caixa de direção, 4: catalisador e 5: armotecedor

Ao final obteve-se a sequência: 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, ... que apresenta um padrão de formação que consiste na repetição de um bloco de números. Essa sequência descreve a ordem que os produtos apreendidos foram cadastrados.

O 2015º item cadastrado foi um(a)

a)	rolamento
b)	catalisador
c)	armotecedor
d)	pastilha de freio
e)	caixa de direção

Resolução

Temos as seguintes associações 1: rolamento, 2: pastilha de freio, 3: caixa de direção, 4: catalisador e 5: amortecedor.

Pela sequência dada 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, ... temos que o padrão se repete em ciclos de 8 elementos.

Para determinar o elemento na posição 2015ª basta, na divisão por oito, determinar o resto, que pode ser associado ao elemento da sequência como mostra a relação:

$\underset{r e s t o 1}{\underset{⏟}{5}}, \underset{r e s t o 2}{\underset{⏟}{4}}, \underset{r e s t o 3}{\underset{⏟}{3}}, \underset{r e s t o 4}{\underset{⏟}{2}}, \underset{r e s t o 5}{\underset{⏟}{1}}, \underset{r e s t o 6}{\underset{⏟}{2}}, \underset{r e s t o 7}{\underset{⏟}{3}}, \underset{r e s t o 0}{\underset{⏟}{4}}$ .

Como $2015 = 8 \cdot 251 + 7$ , isto é, deixa resto 7 na divisão por oito, então, o elemento na 2015ª posição é a caixa de direção.