Questão 156 Enem 2019 - dia 2 - Matemática e Ciências da Natureza

Questão 156

Combinação simples

Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos.

De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?

a)	69
b)	70
c)	90
d)	104
e)	105

Resolução

Primeiramente vamos determinar o total de possibilidades, note que para escolher cada dupla vamos utilizar a combinação simples. Em seguida vamos dividir por 4!, dado que a ordem entre os times não importa, ou seja:

$\frac{C_{8}^{2} \cdot C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}}{4!} = \frac{\frac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!}}{4!} = 105$

Agora, vamos determinar o número de casos indesejáveis, ou seja, uma dupla de jogadores canhotos.

Fixando essa dupla, vamos determinar o total de possibilidades de montar as outras três duplas. Para isso vamos utilizar combinação simples novamente e dividiremos mais uma vez por 3! dado que a ordem entre as duplas não importa, logo:

$\frac{C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}}{3!} = \frac{\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!}}{3!} = 15$

Portanto, o número de casos que buscamos é a diferença entre o total e os casos indesejáveis, isto é, $105 - 15 = 90$ possibilidades.