Questão 104 Enem 2024 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 104

Composição de Movimento Cinemática Vetorial

Para os circuitos de maratonas aquáticas realizadas em mares calmos e próximos à praia, é montado um sistema de boias que determinam o trajeto a ser seguido pelos nadadores. Uma das dificuldades desse tipo de circuito é compensar os efeitos da corrente marinha. O diagrama contém o circuito em que deve ser realizada uma volta no sentido anti-horário. As quatro boias estão numeradas de 1 a 4. Existe uma corrente marinha de velocidade ${\vec{v}}_{c}$ , cujo módulo é 30 metros por minuto, paralela à praia em toda a área do circuito. Nas arestas mais longas, o nadador precisará nadar na direção apontada pelos vetores ${\vec{v}}_{n}$ dos pontos 1 até 2 e de 3 até 4. Considere que a velocidade do nadador é de 50 metros por minuto, em relação à água, durante todo o circuito.

Nessa situação, em quantos minutos o nadador completará a prova?

a)	42
b)	65
c)	72
d)	105
e)	120

Resolução

Para determinarmos o tempo gasto pelo nadador para terminar a prova, precisamos primeiro calcular a velocidade do nadador em relação às boias (v_B) em cada trecho, sendo que essa velocidade é dada pela soma vetorial das velocidades do nadador em relação à água (v_n) e da água em relação às boias (v_c):

${\vec{v}}_{B} = {\vec{v}}_{n} + {\vec{v}}_{c} .$

Sabendo o módulo de ${\vec{v}}_{B}$ , o tempo gasto em cada trecho é dado por

$Δ t = \frac{Δ s}{|{\vec{v}}_{B}|} .$

Trecho 1-2:

${|{\vec{v}}_{B}|}^{2} = {|{\vec{v}}_{n}|}^{2} - {|{\vec{v}}_{c}|}^{2} \Rightarrow$

${|{\vec{v}}_{B}|}^{2} = 50^{2} - 30^{2} = 1600 \Rightarrow$

$|{\vec{v}}_{B}| = 40 m / \min .$

Logo, o tempo gasto nesse trecho é

$Δ t = \frac{Δ s}{|{\vec{v}}_{B}|} = \frac{800 m}{40 m / \min} = 20 \min .$

Trecho 2-3:

$|{\vec{v}}_{B}| = |{\vec{v}}_{n}| - |{\vec{v}}_{c}| \Rightarrow$

$|{\vec{v}}_{B}| = 50 - 30 \Rightarrow$

$|{\vec{v}}_{B}| = 20 m / \min .$

Logo, o tempo gasto nesse trecho é

$Δ t = \frac{Δ s}{|{\vec{v}}_{B}|} = \frac{400 m}{20 m / \min} = 20 \min .$

Trecho 3-4:

${|{\vec{v}}_{B}|}^{2} = {|{\vec{v}}_{n}|}^{2} - {|{\vec{v}}_{c}|}^{2} \Rightarrow$

${|{\vec{v}}_{B}|}^{2} = 50^{2} - 30^{2} = 1600 \Rightarrow$

$|{\vec{v}}_{B}| = 40 m / \min .$

Logo, o tempo gasto nesse trecho é

$Δ t = \frac{Δ s}{|{\vec{v}}_{B}|} = \frac{800 m}{40 m / \min} = 20 \min .$

Trecho 4-1:

$|{\vec{v}}_{B}| = |{\vec{v}}_{n}| + |{\vec{v}}_{c}| \Rightarrow$

$|{\vec{v}}_{B}| = 50 + 30 \Rightarrow$

$|{\vec{v}}_{B}| = 80 m / \min .$

Logo, o tempo gasto nesse trecho é

$Δ t = \frac{Δ s}{|{\vec{v}}_{B}|} = \frac{400 m}{80 m / \min} = 5 \min .$

Finalmente, somando os tempos gastos em cada trecho, concluímos que o tempo total de prova foi igual a 65 minutos:

$Δ t_{t o t a l} = 20 + 20 + 20 + 5 = 65 \min .$

A alternativa correta é a B.