Questão 169 Enem 2019 - dia 2 - Matemática e Ciências da Natureza

Questão 169

Distância entre Pontos

Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as caracteristicas dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distânciado usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicaivo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.

O usuário P defini um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são comatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.

Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S simuntneamente?

a)	I
b)	II
c)	III
d)	IV
e)	V

Resolução

Para que dois usuários tenham perfis compatíveis, cada um deles deve estar dentro da região de abrangência do outro. Dessa forma, para que dois usuários sejam compatíveis, a distância entre eles deve ser menor ou igual ao menor dos raios de abrangência entre os dois.

Pelos raios de abrangência dados, temos que:

a distância entre P e Q deve ser menor ou igual a 3 km;
a distância entre P e R deve ser menor ou igual a 2 km;
a distância entre P e S deve ser menor ou igual a 3 km.

Lembrando que, no plano cartesiano, a distância entre dois pontos $A (x_{A}, y_{A})$ e $B (x_{B}, y_{B})$ é dada por $d_{A B} = \sqrt{(x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2}}$ , podemos montar a seguinte tabela:

Distância entre:	P e Q	P e R	P e S
I	$\sqrt{5} k m < 3 k m$	$\sqrt{2} k m < 2 k m$	$3 k m \leq 3 k m$
II	$\sqrt{5} k m < 3 k m$	$2 \sqrt{2} k m > 2 k m$	$\sqrt{5} k m < 3 k m$
III	$2 \sqrt{2} k m < 3 k m$	$\sqrt{5} k m > 2 k m$	$2 k m < 3 k m$
IV	$\sqrt{2} k m < 3 k m$	$\sqrt{5} k m > 2 k m$	$\sqrt{10} k m > 3 k m$
V	$3 k m \leq 3 k m$	$3 \sqrt{2} k m > 2 k m$	$\sqrt{5} k m < 3 k m$

Analisando a tabela, a única posição de P que satisfaz a compatibilidade de P com os outros três usuários é a I.