Questão 171 Enem 2019 - dia 2 - Matemática e Ciências da Natureza

Questão 171

Análise Combinatória

Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de igual formato e tamanho, numerados de 1 a 12.Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustra a figura.

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

a)	$C_{12}^{4} \times C_{12}^{3} \times C_{12}^{3} \times C_{12}^{2}$
b)	$C_{12}^{4} + C_{12}^{3} + C_{12}^{3} + C_{12}^{2}$
c)	$C_{12}^{4} \times 2 \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{2}$
d)	$C_{12}^{4} + 2 \times C_{12}^{3} + C_{12}^{2}$
e)	$C_{12}^{4} \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3} \times C_{2}^{2}$

Resolução

Podemos, inicialmente, selecionar os vagões que serão pintados de vermelho. Temos 12 opções e devemos escolher 4. Como a ordem de escolha dos vagões é indiferente, pois os 4 serão pintados da mesma cor, temos $C_{12}^{4}$ maneiras distintas de selecionar esses 4 vagões.

A seguir, de forma análoga, podemos calcular o número de maneiras distintas de selecionar os vagões que serão pintados com as demais cores:

Azul: $C_{8}^{3}$ (restaram 8 opções, devemos escolher 3)
Verde: $C_{5}^{3}$ (restaram 5 opções, devemos escolher 3)
Amarelo $C_{2}^{2}$ (restaram 2 opções, devemos escolher 2)

Logo, pelo princípio fundamental da contagem, a quantidade de trens distintos que podemos formar é $C_{12}^{4} \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3} \times C_{2}^{2}$ .