Questão 139 Enem 2024 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 139

Combinação simples

Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

a)	$\frac{7!}{4!} \times \frac{6!}{4!}$
b)	$\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}$
c)	$\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{5!}{1! \times 4!}$
d)	$(\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!}) \times (\frac{7!}{4! \times 3!} + \frac{6!}{1! \times 5!}) \times (\frac{7!}{5! \times 2!} + \frac{6!}{0! \times 6!})$
e)	$(\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}) + (\frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}) + (\frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!})$

Resolução

Para formar a equipe com $5$ médicos, sendo pelo menos $3$ cardiologistas, devemos analisar os casos abaixo:

$3$ cardiologistas e $2$ neurologistas: $C_{7, 3} \times C_{6, 2} = \frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}$
$4$ cardiologistas e $1$ neurologista: $C_{7, 4} \times C_{6, 1} = \frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}$
$5$ cardiologistas e $0$ neurologistas: $C_{7, 5} \times C_{6, 0} = \frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!}$

Portanto, a expressão que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é dada por

$(\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \cdot 4!}) + (\frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}) + (\frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!})$