Questão 145 Enem 2024 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 145

Pontos Notáveis em um Triângulo

A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos $P_{1}$ , $P_{2}$ e $P_{3}$ , os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

a)	2 e 3.
b)	4 e 5.
c)	5 e 6.
d)	7 e 8.
e)	8 e 9.

Resolução

Note que $P_{1}$ , $P_{2}$ e $P_{3}$ são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede $10 km$ .

Como $H$ é equidistante aos pontos $P_{1}$ , $P_{2}$ e $P_{3}$ , então $H$ é circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro do triângulo $P_{1} P_{2} P_{3}$ .

Considere o ponto médio $M$ do lado $\bar{P_{2} P_{3}}$ .

Temos que $\bar{P_{1} M}$ é altura e mediana relativa ao lado $\bar{P_{2} P_{3}}$ .

Assim, utilizando a fórmula da altura do triângulo equilátero $(h = \frac{l \sqrt{3}}{2})$ , a altura $\bar{P_{1} M}$ pode ser obtida da seguinte forma:

$P_{1} M = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} km$ .

Como $H$ é baricentro do triângulo, temos que a distância de $H$ à $P_{1}$ é igual a $\frac{2}{3}$ de $P_{1} M$ .

Portanto,

$H P_{1} = \frac{2}{3} \cdot 5 \sqrt{3} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} km$ .

Utilizando a aproximação $\sqrt{3} \approx 1, 73$ , encontramos $H P_{1} \approx 5, 76 km$ , de onde concluímos que a distância, em quilômetros, entre o hospital e cada um dos postos de saúde é um valor entre 5 e 6.