Questão 147 Enem 2024 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

A área de um triângulo equilátero de lado $a$ é dada por:

$A_{triângulo}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

A área de um quadrado de lado $b$ é dada por:

$A_{quadrado}=b^2$.

A área de um hexágono regular de lado $c$ é dada por:

$A_{hexágono}=\frac{6c^2\sqrt{3}}{4}$.

Se o jardim for delimitado em forma de triângulo equilátero, então teremos $a=\frac{k}{3}$. Assim,

$A_{triângulo}=\frac{{\left({\displaystyle \frac{k}{3}}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{k^2\sqrt{3}}{36}$

Se o jardim for delimitado em forma de quadrado, então $b=\frac{k}{4}$. Dessa forma,

$A_{quadrado}={\left(\frac{k}{4}\right)}^2=\frac{k^2}{16}$

Se o jardim for delimitado em forma de hexágono regular, então $c=\frac{k}{6}$. Logo,

$A_{hexágono}=\frac{6{\left({\displaystyle \frac{k}{6}}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{k^2\sqrt{3}}{24}$

Note que a área do triângulo é menor que a área do hexágono. Resta-nos comparar as áreas do quadrado e do hexágono.

Perceba que $\sqrt{3}>1\text{,}5$. Daí, temos:

$\frac{k^2\sqrt{3}}{24}>\frac{k^2·1\text{,}5}{24}=\frac{k^2}{16}$.

Veja que a expressão à esquerda (área do hexágono) é maior que a expressão à direita (área do quadrado).

Portanto, o jardineiro escolherá a forma de hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\boxed{\frac{k^2\sqrt{3}}{24}}$.