Questão 173 Enem 2024 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 173

Circunferência

Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 m e 6 m, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 cm.

Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas.

A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível.

A compra será realizada na loja

a)	I.
b)	II.
c)	III.
d)	IV.
e)	V.

Resolução

As colunas e os vãos entre elas devem formar uma linha reta de $3 m = 300 cm$ .

Como o vão entre duas colunas não pode ser superior a 15 centímetros, para minimizar o número de colunas a serem compradas, podemos supor que o espaçamento entre duas colunas consecutivas será exatamente $15 cm$ . Além disso, podemos começar a linha com um vão de $15 cm$ , seguido por um diâmetro da coluna $(d = 2 r)$ , seguido por um novo vão de $15 cm$ e um novo diâmetro da coluna, e assim por diante, até completar os $300 cm$ .

Veja que, com o raciocínio acima, para calcular o número de colunas necessárias para cada um dos cinco tipos, podemos dividir $300$ pela soma $(15 + 2 r)$ . Caso o resto da divisão seja um valor menor ou igual a $15$ , o quociente será o número de colunas, uma vez que podemos terminar a linha com um vão. Por outro lado, caso o resto seja maior que $15$ , significa que o número de colunas será $1$ a mais que o quociente da divisão (pois não se pode deixar vão superior a $15 cm$ ).

Loja I: $15 + 2 r = 25$

$\begin{matrix} 300 & | 25 \\ 0 & 12 \end{matrix}$

Nessa loja serão necessárias 12 colunas, a um custo de $12 \cdot 60 = R$ 720, 00$ .

Loja II: $15 + 2 r = 35$

$\begin{matrix} 300 & | 35 \\ 20 & 8 \end{matrix}$

Nessa loja serão necessárias 9 colunas, a um custo de $9 \cdot 70 = R$ 630, 00$ .

Loja III: $15 + 2 r = 39$

$\begin{matrix} 300 & | 39 \\ 27 & 7 \end{matrix}$

Nessa loja serão necessárias 8 colunas, a um custo de $8 \cdot 75 = R$ 600, 00$ .

Loja IV: $15 + 2 r = 45$

$\begin{matrix} 300 & | 45 \\ 30 & 6 \end{matrix}$

Nessa loja serão necessárias 7 colunas, a um custo de $7 \cdot 90 = R$ 630, 00$ .

Loja V: $15 + 2 r = 55$

$\begin{matrix} 300 & | 55 \\ 25 & 5 \end{matrix}$

Nessa loja serão necessárias 6 colunas, a um custo de $6 \cdot 120 = R$ 720, 00$ .

Portanto, a opção de compra que resulta no menor valor total possível é a compra realizada na loja III, cujo custo será de R$ 600,00.