Questão 177 Enem 2024 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 177

Áreas de quadriláteros Equações Polinomiais

Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando a região plana de formato retangular, com lados de comprimento L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento de L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6 000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.

Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?

a)	85
b)	100
c)	175
d)	200
e)	350

Resolução

O galinheiro terá lados de comprimento L e C.

Para telar o galinheiro será necessário gastar L.20+C.15+L.20+C.15 reais, que o fazendeiro deseja que corresponda a um valor de R$6000,00:

$2 . L . 20 + 2 . C . 15 = 6000 4 L + 3 C = 600 (i)$

A área do galinheiro é a área de um retângulo:

$Á r e a = C . L (i i)$

Isolando o C na equação (i) e substituindo na (ii) teremos:

$Á r e a = L . (\frac{600 - 4 L}{3}) Á r e a = - \frac{4}{3} L^{2} + 200 L$

Essa é uma função quadrática em L, que corresponde a uma parábola com concavidade para baixo (a<0). O seu ponto máximo (comprimento L para se obter a maior área) coincide com o vértice desta parábola:

$L_{a r e a m a x} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 200}{2 . (\frac{- 4}{3})} = 75 m$

O comprimento C correspondente a este valor de L pode ser encontrado usando a equação (i):

$3 . C + 4.75 = 600 \Rightarrow C = \frac{600 - 4.75}{3} C = 100 m$

Quando a área do galinheiro é máxima, respeitando o valor a ser gasto com as telas, teremos L = 75m e C = 100m. Então o lado de maior medida será o C e terá 100m.